Anexo
1
FORMULÁRIO DA GEOMETRIA DE MASSAS
A1.1 INTRODUÇÃO
Neste anexo é apresentado sumariamente as expressões mais utilizadas no
estudo da geometria de massas e algumas tabelas de perfis metálicos vulgarmente
utilizadas no projecto de estruturas metálicas.
A1.2 CENTRO DE GRAVIDADE OU BARICENTRO, G
Quadro A1.1 – Centros de gravidade.
Peso específico variável
Peso específico constante
1 n
r
G − O = ⋅ ∑ p k ⋅ rk
p k =1
r
1 n
G − O = ⋅ ∑ Vk ⋅ rk
V k =1
Sistema discreto
Ak
z
O
p k = mk ⋅ g
r
rk
G
y
x
Sistema contínuo
G
z
O
r
r
dm
dp = g ⋅ dm
G −O =
1 r
r ⋅ g dm
p M∫
G −O =
1 r
⋅ r dV
V V∫
y
x
A1.1
Formulário da geometria de massas
A1.3 MOMENTOS ESTÁTICOS (OU DE 1ª ORDEM) DE UMA
SUPERFÍCIE PLANA
Quadro A1.2 – Momentos estáticos de uma superfície plana e sua relação com as
coordenadas (xG, yG) do centro de gravidade.
Em relação ao eixo OX
Em relação ao eixo OY
S x = ∫ y da = A ⋅ yG
S y = ∫ x da = A ⋅ xG
yG
y
y
yG
da
G
xG
A
O
xG
x
A
x
Nota: O sistema de eixos OxGyG é designado de sistema de eixos baricentrico.
Quadro A1.3 – Casos particulares.
1. Momento estático em relação a um eixo baricentrico
y
Sy = 0
G
O
x
2. Momento estático em relação a um eixo de simetria de
uma superfície homogénea
Sy = 0
y
O
x
3. Momentos estáticos de uma superfície homogénea
duplamente simétrica
Sx = 0 e S y = 0
y
O
A1.2
x
Anexo 1
A1.4 MOMENTOS DE 2ª ORDEM DE SUPERFÍCIES PLANAS
Quadro A1.4 – Momentos de inércia de superfícies planas.
Em relação ao eixo OX
Em relação ao eixo OY
y
da
y
I x = ∫ y 2 da
I y = ∫ x 2 da
A
O
x
A
x
Quadro A1.5 – Teoremas associados ao cálculo de momentos de inércia.
Teorema dos
Teorema de Steiner
eixos paralelos
(d'G = 0)
I∆ = I∆ + A ⋅ d 2
I ∆ = I ∆ ' + A ⋅ d 2 + 2 ⋅ A ⋅ d ⋅ d G'
G
Quadro A1.6 – Momento de inércia polar.
y
da
y
I O = ∫ r 2 da
A
r
r ( x, y )
O
x
x
Quadro A1.7 – Relação do momento de inércia polar com os momentos de inércia.
I O = I x + I y = I x ' + I y ' = I x" + I y"
Quadro A1.8 – Raio de giração.
P
r∆
da
r∆ =
d
I∆
A
∆
A1.3
Formulário da geometria de massas
Quadro A1.9 – Produto de inércia.
y
da
y
I xy = ∫ x ⋅ y da
A
O
x
x
Quadro A1.10 – Teoremas associados ao cálculo de produtos de inércia.
Teorema dos
Teorema de Steiner
eixos paralelos
(a = 0 e b = 0)
I x ' y ' = I xy + a ⋅ b ⋅ A +
+ a ⋅ A ⋅ xG + b ⋅ A ⋅ yG
I x'y' = I x
A1.5 DETERMINAÇÃO DE MOMENTOS DE 2ª
G yG
+ a ⋅b⋅ A
ORDEM
DE
SUPERFÍCIES PLANAS POR ROTAÇÃO DO SISTEMA DE EIXOS
Quadro A1.11 – Determinação de momentos de inércia e produtos de inércia por
rotação do sistema de eixos.
I x ' = I x ⋅ cos 2 α + I y ⋅ sen 2α − I xy ⋅ sen 2α
I y ' = I x ⋅ sen 2α + I y ⋅ cos 2 α + I xy ⋅ sen 2α
y'
I x ' y ' = ( I x − I y ) ⋅ senα ⋅ cos α + I xy ⋅ (cos 2 α − sen 2 α )
y
α
x'
O
ou, em alternativa,
α
x
I x' =
I y' =
Ix + Iy
2
Ix + Iy
I x'y' =
A1.4
+
2
Ix − Iy
2
−
Ix − Iy
2
Ix − Iy
2
⋅ cos 2α − I xy ⋅ sen 2α
⋅ cos 2α + I xy ⋅ sen 2α
⋅ sen 2α + I xy ⋅ cos 2α
Anexo 1
A1.6 MOMENTOS PRINCIPAIS DE INÉRCIA E EIXOS PRINCIPAIS DE
INÉRCIA
Quadro A1.11 – Momentos de principais de inércia e eixos principais de inércia.
y1
y
I1 =
α
Ix + Iy
1
− ⋅ ( I x − I y ) 2 + 4 ⋅ I xy2
2
2
α
x
1
+ ⋅ ( I x − I y ) 2 + 4 ⋅ I xy2
2
2
I2 =
x1
O
Ix + Iy

2 ⋅ I xy 


−
I
I
y 
 x
1
2
α = ⋅ arctg −
Quadro A1.12 – Momentos de principais centrais de inércia e eixos principais
centrais de inércia.
y' G
yG
I1 =
Ix + Iy
G
αG
'
xG
G
I2 =
Ix + Iy
G
G
2
G
αG
xG
G
2
G
1
2

+
1
⋅ ( I x − I y ) 2 + 4 ⋅ I x2 y
2
−
1
⋅ ( I x − I y ) 2 + 4 ⋅ I x2 y
2
α G = ⋅ arctg −
G
G
G
2 ⋅ Ix
G yG
 Ix − Iy
G
G
G
G G
G G




A1.5
Formulário da geometria de massas
A1.7 ALGUMAS GRANDEZAS PARA SUPERFÍCIES PLANAS
CORRENTES
Quadro A1.13 – Momentos estáticos.
Secções
Momento estático
Secções
1. Rectângulo
4. Meio-círculo
2. Triângulo
5. Quarto de círculo
3. Círculo
6. Parábola
A1.6
Momento estático
Anexo 1
Quadro A1.14 – Centros de gravidade e momentos de inércia.
Secções
Momentos inércia
Centros de gravidade
Secções
1. Triângulo
4. Círculo
2. Rectângulo
5. Meio-círculo
3. Quadrado
6. Quarto-círculo
Momentos de inércia
Centros de gravidade
A1.7
Formulário da geometria de massas
Quadro A1.15 – Produtos de inércia.
Secções
Produtos de inércia
1. Rectângulo
2. Triângulo
Quadro A1.16 – Raios de giração.
Secções
Raios de giração
Secções
1. Rectângulo
3. Triângulo
2. Quadrado
4. Círculo
A1.8
Raios de giração
Anexo 1
A1.8 CARACTERÍSTICAS GEOMÉTRICAS DE ALGUNS PERFIS
METÁLICOS
Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da.
A1.9
Formulário da geometria de massas
Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da.
A1.10
Anexo 1
Retirado de: Farinha, J.S.B. e Reis, A.C. (2000) “Tabelas Técnicas”, Edições Técnicas E.T.L., L.da.
A1.11