FEUP - ENGENHARIA CIVIL
Folha 1/10
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2000/2001
GEOMETRIA DE MASSAS
1 – INTRODUÇÃO – Secções transversais de estruturas reais
• Tabuleiro de uma ponte
Secção Transversal
• Lajes, Vigas e Pilares
• Teoria das Peças Lineares
G
G
G
x
z
linha do eixo
médio (C.G.)
y
HOMOGÉNIO
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS
MATERIAL
ISOTRÓPICO
Professor Luís Juvandes
Aula 30/11/2000
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Folha 2/10
RESISTÊNCIA DE MATERIAIS 1
Ano lectivo 2000/2001
2 – GEOMETRIA DE MASSAS – Superfícies planas
2.1 – CENTRO DE GRAVIDADE, CENTRO DE MASSA OU CENTRO DE PRESSÃO (G)
2.1.1 – Secção Geral
YG
Y
y
dA
YG
X, Y – eixos gerais
XG
G
∫
A= dA
0
xG
x
X
• Momentos estáticos (1ª ordem)
Sy = x d A
∫
- momento estático da secção plana em relação ao eixo y
∫
- momento estático da secção plana em relação ao eixo x
Sx = y d A
• Centro de gravidade ou Baricentro “G”
xG =
yG =
Sy
A
=
∫ × dA
A
S x ∫ × dA
=
A
A
- eixos baricêntricos
G X G YG
• Casos particulares – secções com um eixo de simetria
eixo de simetria ⇒ o eixo é baricêntrico porque:
dA dA
-x x
Y
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X
∫
Sy = x d A = 0 ⇒ xG = 0
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• Características geométricas de algumas secções correntes – Tabela técnica
d
Ix
Ixy
h
2
b ⋅ h3
12
_______
h
3
b ⋅ h3
36
−
d
0.4244 ⋅ R
0.1098 ⋅ R 4
_______
d
D
2
π ⋅ D4
64
_______
SECÇÃO
G
h
x
d
b
y
h
x
G
d
b2 ⋅ h2
72
b
R
G
x
2R
G
x
D
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2.1.2 – Secção Composta (regular)
Exemplo:
YG
Y
Divisão da figura em sub-figura simples
•
A=
G3
1
yG
y1
•
3
G
G1
G2
XG
n
∑A
i
i =1
2
0 XY − eixos gerais
•
G X G YG - eixos baricêntricos
0
x1
xG
X
• Centro de Gravidade
n
∑x A
i
xG =
i
i =1
n
∑A
i
n – n.º de figuras planas simples cujos centros de
gravidade são conhecidos à partida (xi; yi)
i =1
n
∑y A
i
yG =
i
i =1
n
∑A
i
i =1
• Secções com aberturas
y
y
Barragem:
1
y
=
H 2O
2
x
3
x
cheia
Solo
galeria (abertura)
xG =
yG =
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x
retirar
x1 A1 + x 2 A 2 − x 3 A 3
A1 + A 2 - A 3
y1 A 1 + y 2 A 2 − y 3 A 3
A1 + A 2 - A 3
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2.1.3 – Centros de pressão
R2
p
R
p
R
R1
p
=
=
l
l
2
2
2l
l
3
3
l
p
l
2
2
1
3
2.2 – MOMENTOS AXIAIS DE 2.ª ORDEM (Ix, Iy, Ixy)
2.2.1 – Secção Geral
y
dA
y
• 0XY − eixos gerais
• Momentos de Inércia
0
x
x
∫
∫
Ix = y2 d A > 0
Iy = x2 d A > 0
• Produto de Inércia
> 0
I x y = ∫ x y d A
< 0
y
2º
3º
1º
-
+
+
-
x
4º
Nota: Momentos de inércia e os produtos de inércia para secções correntes do tipo seguinte
⇓
Consultar TABELAS TÉCNICAS
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• Teorema de Steiner – relação entre momentos de inércia relativos a dois eixos paralelos
∆’
∆
G
a
d
•
I ∆ ' = I ∆ + 2ad A + Ad 2
•
se a = φ (∆ é baricêntrico)
•
I ∆ ' = I ∆ + Ad 2 ⊕
• Produtos de inércia - relativos a dois sistemas de eixos paralelos
v
y
b
I uv = I x y + bS y + aS x + abA
•
se a = b = φ ⇒ (O = G )
G
I uv = I xy + abA
x
O
O’
•
OBS: a e b podem ser
u
a
⊕
⊕
Exemplo:
y
tabela
→
yG
G
h
xG
x
O
b
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I xG =
b h3
h b3
; I yG =
; I x G yG = 0
12
12
2

b h3
h
 I x = I x G + A  =
3
 2

2
Teorema 
h b3
b
I
I
A
=
+
=


 y
y
G
de Steiner 
3
 2
2
2
h
b

   b h
I
I
A
=
+
=




xG y
 xy
G
4
 2 2

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2.2.2 – Secção Composta (regular)
y
yG
1
Eixos paralelos:
2
G2
yG
xG
O X Y


G X G YG
i
i

G1
G3
xG
O
x
3
-
eixos gerais
-
eixos baricêntricos de cada
figura simples
• Momentos de inércia e Produto de inércia
n
[
2
I x = ∑ I x Gi + A i y Gi
i =1
n
[
Iy = ∑ Iy
i =1
n
[
Gi
2
+ A i x Gi
]
]
I x y = ∑ I xy + A i x Gi y Gi
i =1
Gi
]
Exemplo 1:
Tabelas:
y
yG
yG
yG
UNP 160
HEB 140
UNP 160
xG
xG
d2
XG
d1
I x = 85.3 cm 4

4
I y = 925 cm
I xy = 0

HEB 140
[
I X G = I X G + Ad12
X
I x = 1509 cm 4

4
I y = 550 cm
I xy = 0

]
HEB
[
+ I X G + Ad 22
I Y G = [I Y G ]HEB + [I Y G ]UNP
]
UNP
IXYG = 0
Exemplo 2: Secção com aberturas
y
 I x = I cheia
− I abertura
x
x

cheia
abertura
=
−
I
I
I
y
y
 y
I xy = I cheia
− I abertura
xy
xy

x
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2.2.3 – Rotação de eixos
• Eixos gerais
Y’
Y
+
α
OXY - eixos gerais iniciais
OX’Y’ - eixos gerais rodados de “α”
X’
α+
X
O
→ Momentos e produtos de inércia
I x ' = I x ⋅ cos 2 α + I y ⋅ sin 2 α − I xy ⋅ sin (2 ⋅ α )
I y ' = I x ⋅ sin 2 α + I y ⋅ cos 2 α − I xy ⋅ sin (2 ⋅ α )
(
I x ⋅ sin α ⋅ cos α − I y ⋅ sin α ⋅ cos α + I xy ⋅ cos 2 α − sin 2 α
)
• Eixos Principais de Inércia (EPI)
→ Quando I x ' y ' = 0 e O ≠ centro de gravidade (G)
tan (2 ⋅ α ) = −
2 ⋅ I xy
Ix − Iy
⇒
α 0

π
α 0 +

2
⇒
I máx = I1
I min = I 2
→
eixo
1
→
eixo
2
→ Momentos Principais de Inércia
Ix + I y
1
2
2
⋅ (I x − I y ) + 4 ⋅ I xy = I máx
2
2
Ix + Iy 1
2
2
I2 =
− ⋅ (I x − I y ) + 4 ⋅ I xy = I min
2
2
I1 =
+
• Eixos Principais Centrais de Inércia (EPCI)
→ Quando I x 'y ' = 0 e O = centro de gravidade (G)
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• Casos Particulares: eixos de simetria
i) Um eixo só
Produtos de inércia = 0
ii) Dois ou mais eixos
G
G
G
x
x
y
y
x
y
Produtos de inércia = 0
x, y – eixos baricêntricos
CONCLUSÃO:
•
todo o eixo de simetria é principal de inércia
•
se tivermos 2 eixos de simetria então os eixos são principais centrais
de inércia (EPCI)
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