Determinação das características
geométricas de superfícies planas
Apresentação da aula
1. Introdução
2. Baricentros e centróides
3. Momentos de primeira ordem ou momentos
estáticos
4. Momentos de segunda ordem ou momentos
de inércia
5. Produtos de inércia
6. Translação de eixos
7. Rotação de eixos
8. Momentos e eixos principais de inércia
9. Exemplos numéricos
1.
INTRODUÇÃO
disciplinas Resistência dos Materiais e Análise de
Estruturas :
cálculo de esforços internos e externos
resultantes de ações aplicadas nas estruturas
deslocamentos e tensões
características geométricas das superfícies
planas formadas pelas seções transversais das
barras
Viga em balanço
Análise de Estruturas equaciona o problema de determinação da
flecha f na extremidade da barra:
PL3
f 
3EI
função proporcional à ação P aplicada e ao comprimento da peça L e
inversamente proporcional à capacidade de deformação do material
(representada pelo módulo de elasticidade E) e também ao
denominado Momento de Inércia I, uma característica geométrica da
seção transversal
Baricentros e centróides
Superfície de espessura constante
Peso total P, dividida em n elementos , de pesos individuais ΔP
O peso total P da superfície, conforme se sabe, é dado por:
P  P1  P2  ...  Pn
sendo que, no limite:
P   dP
Para determinar as coordenadas do ponto de aplicação da resultante
P, denominado Baricentro ou Centro de Gravidade da superfície,
basta escrever somatórios de momentos dos pesos em relação aos
eixos , ou sejam:
Pxc  x1P1  x2P2  ...xn Pn
Pyc  y1P1  y2P2  ... yn Pn
Levando tais expressões ao limite, tem-se:
P xc   xdP
P yc   ydP
Analogamente às considerações feitas para o Peso P, tem-se:
A   dA
xc 
 xdA
A
yc 
 ydA
A
onde as coordenadas , denominadas Centróide ou Centro
Geométrico da superfície A, neste caso particular, coincidem com as
do Baricentro.
Momentos de primeira ordem ou
momentos estáticos
As integrais pertinentes ao cálculo das coordenadas do Centróide
recebem o nome de Momentos de Primeira Ordem em relação aos
eixos y e x, respectivamente, cuja notação é expressa por:
Qy   xdA
Qx   ydA
Cabe ressaltar que tais integrais podem ser entendidas, por analogia
aos momentos dos pesos, como momentos das áreas em relação aos
eixos coordenados, motivo pelo qual são denominadas Momentos
Estáticos.
VARIAÇÃO DE SINAIS DOS MOMENTOS ESTÁTICOS
Dependendo da posição do eixo escolhido, o resultado numérico do
Momento Estático pode apresentar sinais distintos ou mesmo se anular,
conforme pode ser observado no exemplo da figura.
Para os eixos
Para os eixos
Para os eixos
 x ye 
x y 
 x yd 
Qye 

Qy 
0
Qyd 

Momentos de segunda ordem ou
momentos de inércia
De modo análogo aos Momentos de Primeira Ordem, cujas expressões
contêm funções x e y, as integrais do tipo abaixo são denominadas
Momentos de Segunda Ordem ou Momentos Inércia em relação aos
eixos x e y respectivamente, em notação dada por:
I x   y 2 dA
I y   x 2 dA
Nestas integrais, a exemplo do cálculo de áreas, nota-se que é um
problema de integração dupla. Para calculá-las, basta ter em conta a
definição de integral dupla de uma função qualquer no domínio A
localizado entre duas curvas, conforme mostra a figura seguinte:
FÓRMULA PARA CÁLCULO DE INTEGRAL DUPLA
y  2  x
y  1  x 

A
x0
x1
 2 ( x )

f  x, y dA     f  x, y  dy dx


x0  1 ( x )

x1
Efetuando-se o cálculo do momento de inércia de um retângulo em
relação à sua base, localizada no eixo x, conforme mostra a figura:
y
onde
1  x   0
h
x
2  x   h
f  x, y   y2
b
Para calcular, basta ter em conta a definição de integral dupla de uma
função qualquer no domínio A localizado entre duas curvas.
h 2 
bh3
I x     y dy dx 
3
00

b
De maneira análoga, para o eixo y:
b3h
Iy 
3
Produtos de inércia
Outra característica geométrica de importância para utilização nos itens que se
seguem, denomina-se Produto de Inércia, definido pela integral dada por:
I xy   xy dA
A exemplo dos momentos estáticos, é fácil verificar que seu resultado
apresenta variação de sinais, conforme mostra a figura, dependendo da
posição que a área se encontrar em relação aos eixos (x,y).
y
(x,y)
(-x,y)
x
Para exemplificar, calcula-se a seguir o Produto de Inércia do
retângulo da figura, aproveitando-se os parâmetros utilizados para o
cálculo de Ix.
Nesse caso basta substituir a função na fórmula de integração
dupla, ou seja:
h

b2h2
I xy     xydy dx 
4
00

b
Para outra posição de eixos coordenados passando pelo Centróide, é
fácil verificar que o resultado de Ixy é zero, face à simetria e ao produto
dos sinais indicados nos respectivos quadrantes.
y'
-
x'
h
+
b
 h/2

I xy     xydy dx  0
b / 2   h / 2

b/2
+
Translação de eixos
Demonstra-se que é possível estabelecer uma relação entre
Momentos de Inércia localizados em relação aos eixos passando pelo
Centróide e eixos paralelos quaisquer conforme ilustra a firura, por meio
do denominado Teorema dos Eixos Paralelos (Teorema de Steiner),
conforme a seguir se expõe.
O Momento de Inércia da superfície, referido ao eixo x, é:
I x   y 2 dA
Conhecendo-se as coordenadas (xc , yc ) do baricentro da área, e
havendo interesse em obter o Momento de Inércia relativo a novo
eixo x’ paralelo a x passando por C, basta ter em conta que:
y  y  yc
Substituindo tal relação na expressão de Ix obtém-se:
I x    y  yc  dA
2
Desenvolvendo o termo elevado ao quadrado e retirando das
integrais as constantes pertinentes tem-se:
I x    y  dA  2 yc  ydA  yc 2  dA
2
ou ainda, à vista que o momento estático em relação ao Centróide é
nulo, resulta:
I x    y  dA  yc 2  dA
2
ou
I x  I x  Ayc 2
Analogamente, para o eixo y:
I y  I y  Axc 2
Nos dois casos, conhecendo-se os Momentos de Inércia em relação
ao Centróide, o valor do Momento de Inércia em relação a
qualquer eixo paralelo pode ser obtido adicionando-se uma parcela
correspondente ao produto da área pelo quadrado da distância
transladada ou vice versa.
Procedimento idêntico pode ser realizado para o Produto de Inércia
em relação a novos eixos paralelos escrevendo:
I xy   xydA  yc  xdA  xc  ydA  xc yc  dA
ou
I xy  I xy  Axc yc
Rotação de eixos
Completando o estudo, passa-se à determinação das características
geométricas em relação a novos eixos localizados na mesma
origem e girados de um ângulo qualquer.
Observe-se que, embora de caráter geral, em aplicações práticas
interessa providenciar a rotação ao redor dos eixos ( x’ , y’ )
localizados no Centróide. Por esse motivo, estabeleceu-se para a
redação das fórmulas deste item, a convenção ilustrada na figura,
onde estão indicadas fórmulas para rotação das coordenadas.
u  x cos  ysen
v  y cos  xsen
Assim sendo, para obter Iu, Iv e Iuv como funções de Ix’, Iy’ e Ix’y’ é o
bastante substituir as novas coordenadas ( u , v ) nas expressões das
características geométricas relativas a esses eixos, ou sejam:
I u   v 2 dA
I v   u 2 dA
I uv   uvdA
Após algumas manipulações algébricas, obtêm-se as seguintes
fórmulas mais concisas:
Iu I x  I y  I x  I y 


cos 2
Iv
2
2
I uv 
I x  I y 
2
sen2  I x y  cos 2
I xy sen2
Momentos e eixos principais de inércia
Tendo em vista que os
relacionados a Ix’ e Iy’
possível determinar seus
derivar tais expressões,
conduz a:
Momentos de Inércia Iu e Iv estão
apenas como funções do ângulo θ, é
valores extremos, bastando para tanto
igualando-as a zero, providência que
A solução dessa equação tem como resultado dois valores de θ
defasados de 90o , que definem outro par de eixos denominados
Eixos Principais de Inércia, indicados por ( 1 , 2 ) , nos quais os
Momentos de Inércia são extremos, e denominados Momentos
Principais de Inércia, em notação expressa por
5. Esforços solicitantes em estruturas
planas isostáticas
5.1- Definição e convenção de sinais
Definição: Em uma estrutura em equilíbrio, os esforços
solicitantes em uma seção transversal genérica são as
forças que equilibram as ações externas que atuam à
esquerda ou à direita desta seção. Os esforços
solicitantes formam pares (ação e reação entre corpos)
de mesma direção e intensidade, porém de sentidos
contrários, nas duas seções transversais.
Estas forças atuantes na seção transversal podem
ser reduzidas a uma força resultante aplicada em
um ponto (centro de gravidade da seção) e a um
momento (binário) resultante.
Para facilitar os cálculos destes esforços
solicitantes, obtêm-se as componentes destas
resultantes nas direções do eixo longitudinal e dos
eixos ortogonais a este, que contêm a seção
transversal da barra.
N - força normal ou axial
V - força cortante
M - momento fletor
T - momento torçor
As componentes destas forças, considerando-se
estrutura plana e carregamento contidos no plano xy,
são os esforços solicitantes esforço axial N,
momento fletor Mz e esforço cortante Vy.
Convenção de sinais:
sentidos positivos dos esforços
Esforço normal (axial): N
Esforço cortante: V
Momento fletor: M
Momento torçor: T
Determinação dos esforços solicitantes
As equações de equilíbrio determinam as condições
da estrutura, ou de parte dela, à esquerda ou à direita
da seção transversal estudada.
x
Exemplo
5,0 kN/m
y
8,0 kN
B
A
C
4,0
1,5
m
8,0 kN
HA
VA
Vc
apoio fixo A:
deslocamentos
restritos vx e vy
apoio móvel C:
deslocamento
restrito vy
Reações de apoio
x
4,0
1,5
m
y
27,5 kN
8,0 kN
HA
Rc
RA
Carga distribuída transformada
em força concentrada fictícia,
Fq = 5,0.5,5=27,5 kN
Equações de equilíbrio
F
F
x
 0 : H A  8,0kN
y
 0 : RA  RC  5.5,5  0  RA  RC  27,5kN
 M zA  0 : 27,5.
5,5
 RC .4  0  RC  18,9kN
2
RA  27,5  RC  27,5 18,9  8,6kN
Esforços solicitantes
x
2,0
y
10,0 kN
MB
HA
NB
RA
VB
Seção transversal B (distante 2 metros do apoio A)
equações de equilíbrio
F
F
x
 0 : H A  N B  0  N B  8,0kN
y
 0 : RA  VB  5,0.2,0  0  8,6  VB  10,0kN  VB  1,4kN
 M zB  0 : RA .2,0  5,0.2,0.
2,0
 M B  0  M B  7,2kN.m
2
6. Equações analíticas e diagrama de esforços
6.1- Equações analíticas
Os esforços solicitantes são obtidos em uma determinada
seção transversal;
Deseja-se, porém, conhecer a sua evolução (variação) ao
longo do elemento estrutural ou da estrutura como um
todo;
Pode-se obter as expressões analíticas dos esforços em
função da coordenada x, onde são representados os
valores ao longo da estrutura, adotando-se uma seção
transversal de referência em posição genérica.
As funções obtidas são contínuas para carregamentos
contínuos e descontínuas onde houver alguma força (ou
reação) concentrada ou descontinuidade geométrica da
estrutura.
Esforços solicitantes
x
s
s
y
5,0.s
MS
HA
NS
RA
VS
Seção transversal S (distante de s do apoio A)
Variação de a coordenada s:
0 < s < 4,0 m
equações de equilíbrio
F
F
x
 0 : H A  N S  0  N S  8,0kN
y
 0 : RA  VS  5,0.s  0  8,6  VS  5,0.s  VS  8,6  5,0.s
s
2
M

0
:
R
.
s

5
,
0
.
s
.

M

0

M

8
,
6
.
s

2
,
5
.
s
 zS
A
S
S
2
Esforços solicitantes para o trecho AC, entre apoios
Para s=0:
VS  VA  8,6  5,0.s  8,6kN
M S  M A  8,6.s  2,5.s 2  0,0
Para s=4,0 (seção à esquerda do apoio C):
VS  VS ,esq  8,6  5,0.s  8,6  5,0.4,0  11,4kN
M S  M S ,esq  8,6.s  2,5.s 2  8,6.4,0  2,5.4,0 2  5,6kN.m
Esforços solicitantes
x
s
s
y
5,0.s
MS
HA
NS
RA
RC
VS
Seção transversal S (distante de s do apoio A)
Variação de a coordenada s:
4,0 < s < 5,5 m
F
F
x
 0 : H A  N S  0  N S  8,0kN
y
 0 : RA  RC  VS  5,0.s  0  8,6  18,9  VS  5,0.s 
VS  5,0.s  27,5
s
M

0
:
R
.
s

R
.(
s

4
,
0
)

5
,
0
.
s
.
 MS  0 
 zS
A
C
2
M S  8,6.s  18,9.(s  4,0)  2,5.s 2
Esforços solicitantes para o trecho CD, em
balanço
Para s=4,0:
VS  VC ,dir  5,0.s  27,5  5,0.4,0  27,5  7,5kN
M S  M C ,dir  8,6.s  18,9.(s  4,0)  2,5.s 2 
 8,6.4,0  18,9.(4,0  4,0)  2,5.4,02  5,6kN.m
Para s=5,5 (seção extrema do balanço):
VS  VD  5,0.s  27,5  5,0.5,5  27,5  0,0
M S  M D  8,6.s  18,9.(s  4,0)  2,5.s 2 
 8,6.5,5  18,9.(5,5  4,0)  2,5.5,52  0,0
Diagrama dos esforços solicitantes
As expressões obtidas permitem traçar os diagramas dos
esforços solicitantes seguindo algumas convenções:
Momento fletor e força cortante, valores positivos indicados
abaixo do eixo de abcissa x
B
1,4
8,6
11,4
_
7,5
+
V (kN)
+
5,6
_
M (kN.m)
+
7,2
Observações:
Força cortante: descontinuidade no diagrama
devido a uma carga concentrada no ponto C
(reação de apoio)
A diferença (ou a soma dos módulos) dos
valores de força cortante, à direita e à esquerda
do apoio (VC,dir–VC,esq=7,5-(-11,4)=18,9kN)
representam a carga concentrada naquele ponto
(reação de apoio VC=18,9kN)
Momento fletor: descontinuidade da inclinação
no diagrama devido a uma carga concentrada no
ponto C (reação de apoio)
7. Relações diferenciais entre os esforços
solicitantes e carregamentos
As expressões analíticas dos esforços solicitantes de
flexão (momento fletor e força cortante) apresentam
relações diferenciais entre si.
Considere-se um elemento de comprimento
infinitesimal dx de uma
barra geral em equilíbrio,
sobrecarregada
uniformemente:
Equações de equilíbrio
F
y
 0 : V  (V  dV )  q( x)dx  0

 dV  q( x)dx
Assim,
dV
 q ( x)  q
dx
dx
dx
 ( M  dM )  (V  dV ).  0
2
2
dx
dx
 dM  V .dx  dV .  0
dx  0 :
dV .  0
2
2
 M z  0 : M V.
Assim,
dM
V
dx
ou
d 2M
 q ( x)  q
2
dx
Integrando-se as duas equações, tem-se:


dV    q( x)dx
dM    Vdx


V  q.x  C1
M 
x2
 q.x  C1 dx  q.  C1.x  C2
2
onde C1 e C2 são constantes de integração e são conhecidos a
partir da definição de condições de contorno do problema
estudado.
Segundo as expressões diferenciais pode-se prever a forma
dos diagramas de esforços M e V para os diversos tipos de
carga distribuída:
q=0:
V - constante
M - variação linear
q=constante: V - variação linear M - polinômio 2o. grau
q=linear:
V – pol. 2o. Grau
M - polinômio 3o. grau
E ainda:
dM
V  0
dx
d 2M
0
2
dx


M:
m áxim o ou m ínim o
M é m áxim o
Bibliografia
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS NBR6120 – Cargas para o cálculo de estruturas de
edificações. Rio de Janeiro: ABNT, 1980. 6p.
DIAS, L. A M. Estruturas de aço: conceitos, técnicas e linguagem.
Zigurate, 1998.
FUSCO, P.B. Estruturas de concreto: Fundamentos do projeto
estrutural. São Paulo: McGraw Hill, 1976.
GIONGO, J.S. Estruturas de concreto armado. São Carlos:
Publicação EESC/USP, 1993.
MACHADO JUNIOR, E.F. Introdução à isostática. São Carlos:
Publicação EESC/USP,1999.
SCHIEL, F. Introdução à resistência dos materiais. São Paulo:
Harbra, 1984.