Estatística Experimental
Estatística Descritiva 2:
- Medidas de Variabilidade
(Medidas de Dispersão)
Bibliografia Consultada
Martins, G. A. & Donaire, D. Princípios de Estatística. 1990. (Cap. 9)
Dante, L. R. Matemática: contexto e
(Cap. 29)
aplicações . Vol. Único, 2009.
Apostila: Regazzi, A. J., Curso de iniciação à estatística. (Apostila Item 5.3)
Profº: Glauco Vieira de Oliveira
AGR/ICET/CUA/UFMT
Medidas de Dispersão (Variabilidade)
Introdução
Média, Moda e mediana: concentra em um único número os
diversos valores de uma variável quantitativa
Obs: Muitas vezes estas informações não são suficientes.
Exemplo: Educador físico irá propor atividades de lazer para
um grupo cujo a média de idade é 20 anos.
Exemplo de alguns grupos possíveis:
– Grupo A: 20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos, 20 anos.
– Grupo B: 22 anos, 23 anos, 18 anos, 19 anos, 20 anos, 18 anos.
– Grupo C: 6 anos, 62 anos, 39 anos, 4 anos, 8 anos, 1 anos.
x grupoA 
20  20  20  20  20  20 120

 20 anos
6
6
x grupoB 
22  23  18  19  20  18 120

 20 anos
6
6
x grupoC 
6  62  39  4  8  1 120

 20 anos
6
6
Para refletir.
Observe a
dispersão dos
dados em relação
a média.
Medidas de Dispersão (Variabilidade)
Introdução
Medidas de dispersão (Variabilidade):
Idéia básica: Medir o grau de concentração ou dispersão dos
dados em torno da média.
– 1ª Idéia: Tomar os desvios dos valores xi em relação a média aritmética
 (xi – MA), em que MA= média aritmética
Calcule os desvios em relação a média aritmética (MA) de cada grupo do
exemplo anterior
(xi-MA)
Xi
Grupo A
Grupo B
Grupo C
X1
(20 –20) = 0
(22 –20)=+2
(6 –20)= -14
X2
(20 –20) = 0
(23 -20)=+3
(62 –20)= +42
X3
(20 –20) = 0
(18 –20)=-2
(39 –20)= +19
X4
(20 –20) = 0
(19 –20)=-1
(4 –20)= -16
X5
(20 –20) = 0
(20 –20)= 0
(8 –20)= -12
X6
(20 –20) = 0
(18 –20)=-2
(1 –20)= -19

0
0
0
Propriedade: (xi – MA) = 0
Medidas de Dispersão (Variabilidade)
Introdução
Solução possível: (xi – MA)2
Variância (V): média dos quadrados dos desvios
fórmula:
n
V
Xi
X1
X2
X3
X4
X5
X6
 (xi-MA)2
Variância
 x i  MA
2
ou
2 
i 1
n
(desvios)2 = (xi-MA)2
Grupo A Grupo B Grupo C
02
(+2)2
(-14)2
02
(+3)2
(+42)2
02
(-2)2
(+19)2
02
(-1)2
(-16)2
02
(0)2
(-12)2
02
(-2)2
(-19)2
0
0
22
3,6
n
3082
513,6
2


x

x
 i
i 1
n
Para refletir.
“ Se os desvios são
elevados ao quadrado,
como fica a
representação das
unidades? ”
Aplicação do uso das médias, variâncias e desvio padrão
Média arit mét ica: x 
x
n
; variância:  2 
desvio padrão:   
2
(
x

x
)
 i
n
;
2
Exemplos de aplicação:
1) Em um treinamento de salto em altura, os atletas realizaram 4
saltos cada um. Veja as marcas obtidas por 3 atletas:
–
–
–
Atleta A: 148 cm, 170 cm, 155 cm e 131 cm;
Atleta B: 145 cm, 151 cm, 150 cm e 152 cm;
Atleta C: 146 cm, 151 cm, 143 cm e 160 cm;
Com base nos dados responda os seguintes itens:
a) Qual deles obteve melhor média?
b) Qual deles foi mais regular?
Aplicação do uso das médias, variâncias e desvio padrão
x

Média arit mét ica: x 
; variância: 
n
2
(x


i
 x )2
n
; desvio padrão:    2
Exemplos de aplicação:
2) O histograma mostra o resultado de uma pesquisa sobre altura
entre os alunos de uma classe. Calcule o desvio padrão desta
variável
Classes
|--|--|--|---
|--Total ()
PM
Fi
POPULACÃO vs AMOSTRA
Variância: É dada pela soma dos quadrados dos desvios em relação a média
aritmética, dividida pelo número de graus de liberdade.
Variância Populacional
n

2

 x
i 1
Variância Amostral
n
 x   Fi
2
i
s 2  ˆ 2 
n
Desenvolvendo temos:
2
1
  x i2 Fi 
n

 x F 
2
i
n
Qdo Fi = 1 para todo i

2
2




x
1

i
2

  x i 
n
n



i
 x
i 1
 x   Fi
2
i
n -1
Desenvolvendo temos:




1 
2
 x i2 Fi 
s 
n 1 

 x F  
2
i
i

n
Qdo Fi = 1 para todo i
1 
2
 x i2 
s 
n 1 

 x 
2
i
n




Desvio Padrão:
   2 é o desvio padrão populacional
S  S 2 é o desvio padrãoamostral
Desvio Médio:
| xi  x | Fi

DM 
g.l.
obs: xi  x  di
g.l. : grausde liberdade
n:
Populacional
n  1 : Am ostral
Populacão vs amostra
Ex: Calcular o a variância, o desvio padrão e o desvio médio da
seguinte distribuição amostal.
Xi
Fi
xiFi
xi2Fi
| xi – x | = | di |
|di| Fi
5
2
10
50
|5 – 8,06| = 3,06
6,12
7
3
21
147
|7 – 8,06| = 1,06
3,18
8
5
40
320
|8 – 8,06| = 0,06
0,30
9
4
36
324
|9 – 8,06| = 0,94
3,76
11
2
22
242
|11 – 8,06| = 2,94
5,88
129
1.083

Cálculo do desvio médio
DM
| d | F 19,24




i
n 1
19,24
Calculo da variância amostral (S2)
1 
2
 x i2 Fi 
s 
n 1 

 x F   
2
i
n
i

2

1 
129 
1.083
  2,86
16  1 
16 
Calculo do desvio padrão amostral (S)
s  s 2 , logo, s  2,86  1,69
i
15
Dispositivo Prático: Uso de tabela auxiliar
Ex2: Dada a distribuição abaixo, encontrar a média, o desvio
médio e o desvio padrão amostral
Tabela Auxiliar
Classes
Fi
2 |--- 4
2
4 |--- 6
4
6 |--- 8
7
8 |--- 10
4
10 |--- 12
3
xi
xiFi
| xi – x | = | di |
|di| Fi
xi Fi
Total ()
Nota xi = Ponto Médio (quando dividido em classes)
x
144
 7, 2
20
DM 
37,2
 1,86
20
2

1 
144 
s 
1.148
  5,85
20  1 
20 
2
s  5,85  2,41
Coeficiente de Variação (CV)
Definição: Trata-se de uma medida relativa de dispersão, útil para a
comparação em termos relativos do grau de concentração em torno
da média de séries distintas.
Fórmula:
- Utilizado para avaliação de precisão de experimentos

s
CV  ou CV 
x
x
- Utilizado para comparar homogeneidade de amostras
Exemplo: Numa empresa, o salário médio dos homens é de $4.000
com desvio padrão de $1.500 e o das mulheres é em média de $3.000,
com desvio padrão de $1.200.
Homens : CV 
 1500

 0,375
x 4000
Mulheres : CV 

x

1200
 0,4
3000
Conclusão: Pode-se concluir que os salários das mulheres apresentam maior
dispersão relativa que os dos homens
Obs: Costuma-se expressar o valor de CV em porcentagens. Para isso basta
multiplicar o resultado por 100. Assim:
CV(H)= 37,5% e CV(M)= 40%
Erro Padrão da Média (EP)
Definição: è uma medida utilizada para avaliar a precisão da média.
Fórmula:
s(X)
s X  
n
Note que o erro padrão da média é:
– Inversamente proporcional ao tamanho da amostra;
– Diretamente proporcional à variância da amostra
Amplitude Total (AT)
Definição: é a diferença entre o maior e o menor valor de uma
amostra ou de um conjunto de dados.
Fórmula: AT = Xmáx - Xmín
Coeficiente de Correlação Amostral
Definição: è uma medida utilizada para avaliar a precisão da média.
Símbolo:
ˆ
r ou 
Dado duas variáveis X e Y:
Xi
X1
X2
...
Xn
Yi
Y1
Y2
...
Yn
Fórmula:
rxy
ˆ V ( X ,Y )
CO


Vˆ ( X ).Vˆ (Y )
SPxy
SQDx SQDy
- Resolução no quadro
Pode ser Positiva, Negativa ou aproximadamente igual a zero
- Gráfico no quadro
Coeficiente de Correlação Amostral
Exemplo:
Amostra A
4
8
3
9
7
5
Amostra B
1
5
2
14
3
11