V – Medida de Dispersão
Prof. Herondino
Medidas de posição ou tendência central
Propriedades da média aritmética
1. A média é um valor típico, ou seja, ela é o centro de gravidade da distribuição, um
ponto de equilíbrio. Seu valor pode ser substituído pelo valor de cada item na série de
dados sem mudar o total. Simbolicamente temos:
n
X 
 xi

x
i 1
i
n
n
2. A soma dos desvios das observações em relação a média é igual a zero.
( x  X )  0
i
3.
A soma dos desvios elevados ao quadrado das observações em relação a média é
menor que qualquer soma de quadrados de desvios em relação a qualquer outro
número. Em outras palavras,
2
é um mínimo.
(
x

X
)
 i
Exemplo 1
xi
X
xi  X
( x  X )  0
i
n
X 
 xi
n

x
i 1
n
i
( xi  X ) 2
( x  X )
i
2
Exemplo 2
 4 alunos, José, Carlos, Antônio e Pedro, obtiveram as notas e
medias, conforme mostra a tabela:
Alunos
Notas
Média
Antônio
5
5
5
5
5
Carlos
6
4
5
4
6
José
10
5
5
5
0
Pedro
10
10
5
0
0
 Qual deles se saiu melhor?
Exemplo 2
Alunos
Notas
Média
Antônio
5
5
5
5
5
Carlos
6
4
5
4
6
José
10
5
5
5
0
Pedro
10
10
5
0
0
Mediana
Moda
 1º As nota de Antônio não variaram (dispersão nula)
 2º As notas de Carlos variaram menos que as de José
 3º As notas de Pedro variou mais que as dos outros três
alunos.
Encontrando a variância
(Nº de
Ordem)
(Nota de Carlos)
i
xi
01
6
02
4
03
5
04
4
05
6
Total
( Média)
X
(Desvios)
xi  X
( x  X )  0
i
(Quadrado dos
desvios)
2
x  X 
i
( x  X )
i
2
A variância amostral
 A variância amostral é o somatório do quadrado dos desvios
dividido pelo somatório das frequências menos um.
 x  X 
2
s2 
Exemplo:
i
n 1
ou
 n

x


i 
n
2
 i 1 
x

i 
n
s 2  i 1
n 1
2
Variância pelos quadrados
(Nº de
Ordem)
(Nota de Carlos)
i
xi
01
6
02
4
03
5
04
4
05
6
x
i

xi
2
 xi 
2
 n

x


i 
n
2
 i 1 
x

i 
n
s 2  i 1
n 1
2
Variância
(Nº de
Ordem)
(Nota de Carlos)
xi
2
i
xi
01
6
36
02
4
16
03
5
25
04
4
16
05
6
36
 xi  25
 xi  129
2
 n

x


i 
n
2
 i 1 
x

i 
n
s 2  i 1
n 1
252
129
2
5
s 
5 1
s2 
129  125
4
s2 
4
4
s2  1
2
Alunos
Notas
Média
Antônio
5
5
5
5
5
5
Carlos
6
4
5
4
6
5
José
10
5
5
5
0
5
Pedro
10
10
5
0
0
5
Variância
1
Desvio
Padrão
Classes Agrupadas
(Nº de
Ordem)
(Altura em cm)
xi
i
( Nº de
alunos)
fi
01
152
158
9
02
158
164
8
03
164
170
5
04
170
176
4
05
176
182
3
06
182
188
1
Total
( Ponto
médio)
xm
xm  fi
X
xm  X
x
m  X
2
 f  30
i
n
x
i 1
m
. fi
 x
m  X
2
Classes Agrupadas
(Nº de
Ordem)
(Altura em cm)
xi
i
( Nº de
alunos)
fi
( Ponto
médio)
xm
01
152
158
9
155
02
158
164
8
161
03
164
170
5
167
04
170
176
4
173
05
176
182
3
179
06
182
188
1
185
Total
xm  fi
X
xm  X
x
m  X
2
 f  30
i
n
x
i 1
m
. fi
 x
m  X
2
Classes Agrupadas
(Nº de
Ordem)
(Altura em cm)
xi
i
( Nº de
alunos)
fi
( Ponto
médio)
xm
xm  fi
01
152
158
9
155
1395
02
158
164
8
161
1288
03
164
170
5
167
835
04
170
176
4
173
692
05
176
182
3
179
537
06
182
188
1
185
185
Total
 f  30
X
xm  X
x
m  X
2
4932
i
n
x
i 1
m
. fi
 x
m  X
2
Classes Agrupadas
(Nº de
Ordem)
(Altura em cm)
xi
i
( Nº de
alunos)
fi
( Ponto
médio)
xm
xm  fi
X
01
152
158
9
155
1395
164
02
158
164
8
161
1288
164
03
164
170
5
167
835
164
04
170
176
4
173
692
164
05
176
182
3
179
537
164
06
182
188
1
185
185
164
Total
 f  30
xm  X
x
m  X
2
4932
i
n
x
i 1
m
. fi
 x
m  X
2
Classes Agrupadas
(Nº de
Ordem)
(Altura em cm)
xi
i
( Nº de
alunos)
fi
( Ponto
médio)
xm
xm  fi
X
xm  X
01
152
158
9
155
1395
164
-9
02
158
164
8
161
1288
164
-3
03
164
170
5
167
835
164
3
04
170
176
4
173
692
164
9
05
176
182
3
179
537
164
15
06
182
188
1
185
185
164
21
Total
 f  30
x
m  X
2
4932
i
n
x
i 1
m
. fi
 x
m  X
2
Classes Agrupadas
(Nº de
Ordem)
(Altura em cm)
xi
i
( Nº de
alunos)
fi
( Ponto
médio)
xm
xm  fi
X
xm  X
x
m  X
2
01
152
158
9
155
1395
164
-9
81
02
158
164
8
161
1288
164
-3
9
03
164
170
5
167
835
164
3
9
04
170
176
4
173
692
164
9
81
05
176
182
3
179
537
164
15
225
06
182
188
1
185
185
164
21
441
Total
 f  30
4932
846
i
n
x
i 1
m
. fi
 x
m  X
2
Encontrando a variância

x X


2
s2
 x
m  X   846
2
n   fi  30
i
n 1
Encontrando a variância

x X


2
s2
 x
m  X   846
2
n   fi  30
i
n 1
846
s 
30  1
2
s2 
846
29
s 2  29,17
O desvio Padrão amostral
 O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
 x  X 
2
s
 Exemplo:
i
n 1
O desvio Padrão amostral
 O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
 x  X 
2
s
i
n 1
 Exemplo:
s 2  29,17
s  29,17
s  5,4
Estudo de Caso (utilizando a 2ª Formula)
Alunos
Notas
Média
Antônio
5
5
5
5
5
5
Carlos
6
4
5
4
6
5
José
10
5
5
5
0
5
Pedro
10
10
5
0
0
5


x


i 
n
2
 i 1 
x

i 
n
s 2  i 1
n 1
n
Desvio
Padrão
Variância
 x  X 
2
2
s
i
n 1
Nome da Medida
média aritmética
Notação da
Estatística
adotada
X
e
mediana
Md
moda
Mo

Variância
s2
e
2
Desvio Padrão
s
e

A variância Populacional
 A população é finita e consiste de N valores e  uma
estimativa da média da população
2 
2


x


 i
N
O desvio Padrão Populacional
 Observou-se anteriormente que a média da amostra pode ser
utilizada como uma estimativa da média da população.

2


x


 i
N
Coeficiente de Variação
 É a razão entre o desvio padrão e a média. O seu resultado é
multiplicado por 100, para que o Coeficiente de Variação seja
dado em porcentagem.
s
CV  .100
X
Coeficiente de Variação
Alunos
Notas
Média
Variância
Desvio
Padrão
Antônio
5
5
5
5
5
5
0
0,0
Carlos
6
4
5
4
6
5
1
1,0
José
10
5
5
5
0
5
12,5
3,5
Pedro
10
10
5
0
0
5
25
5,0
s
CV  .100
X
CV
(%)
Estudo de Caso – ATIVIDADE V
 Pesquisa de Resíduos Industriais - Análise de Dados
Os dados de demanda bioquímica de oxigênio (DBO) (5 dias)
apresentados na Tabela 5.1 foram obtidos a partir de uma pesquisa de
águas residuais industriais (EPA dos EUA, 1973).
A DBO de uma água é a quantidade de oxigênio necessária para
oxidar a matéria orgânica por decomposição microbiana aeróbia para
uma forma inorgânica estável.
Na legislação do Estado de São Paulo, no Decreto Estadual n.º 8468, a
DBO de cinco dias é padrão de emissão de esgotos diretamente nos
corpos d’água, sendo exigidos uma DBO máxima de 60 mg/L ou
uma eficiência global mínima do processo de tratamento igual a 80%.
Concentrações e contribuições unitárias típicas de
DBO de esgoto doméstico e efluentes industriais.
Estudo de Caso - U.S. EPA 1973
 Há 99 observações, cada medida de uma amostra composta,
retirada num intervalo de 4 horas, dando seis observações
diariamente por 16 dias, mais três observações sobre o 17º dia.
 O estudo foi realizado para avaliar a DBO média e para estimar a
concentração que é excedida uma pequena fração do tempo (por
exemplo, 10%). Esta informação é necessária para planejar um
processo de tratamento.
 O padrão de variação também precisa ser visto porque vai
influenciar a viabilidade de utilização de um processo de
compensação para reduzir a variação da carga DBO.
Referência
 BERTHOUEX, Paul Mac; BROWN, Linfield C.. Statistics
for Environmental Engineers. 2ª Boca Raton London
New York Washington, D.c: Lewis Publishers, 2002.
 MORETTIN, Pedro Alberto; BUSSAB, Wilton de Oliveira.
Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2006.
 TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. Rio de
Janeiro: LTC, 1999.