V – Medida de Dispersão Prof. Herondino Medidas de posição ou tendência central Propriedades da média aritmética 1. A média é um valor típico, ou seja, ela é o centro de gravidade da distribuição, um ponto de equilíbrio. Seu valor pode ser substituído pelo valor de cada item na série de dados sem mudar o total. Simbolicamente temos: n X xi x i 1 i n n 2. A soma dos desvios das observações em relação a média é igual a zero. ( x X ) 0 i 3. A soma dos desvios elevados ao quadrado das observações em relação a média é menor que qualquer soma de quadrados de desvios em relação a qualquer outro número. Em outras palavras, 2 é um mínimo. ( x X ) i Exemplo xi X xi X ( x X ) 0 i n X xi n x i 1 n i ( xi X ) 2 ( x X ) i 2 Estudo de caso 4 alunos, José, Carlos, Antônio e Pedro, obtiveram as notas e medias, conforme mostra a tabela: Alunos Notas Média Antônio 5 5 5 5 5 Carlos 6 4 5 4 6 José 10 5 5 5 0 Pedro 10 10 5 0 0 Qual deles se saiu melhor? Estudo de caso Alunos Notas Média Antônio 5 5 5 5 5 Carlos 6 4 5 4 6 José 10 5 5 5 0 Pedro 10 10 5 0 0 Mediana Moda 1º As nota de Antônio não variaram (dispersão nula) 2º As notas de Carlos variaram menos que as de José 3º As notas de Pedro variou mais que as dos outros três alunos. Encontrando a variância (Nº de Ordem) (Nota de Carlos) i xi 01 6 02 4 03 5 04 4 05 6 Total ( Nº de alunos) X (Desvios) xi X ( x X ) 0 i (Quadrado dos desvios) 2 x X i ( x X ) i 2 A variância amostral A variância amostral é o somatório do quadrado dos desvios dividido pelo somatório das frequências menos um. x X 2 s2 Exemplo: i n 1 ou n x i n 2 i 1 x i n s 2 i 1 n 1 2 Variância pelos quadrados (Nº de Ordem) (Nota de Carlos) i xi 01 6 02 4 03 5 04 4 05 6 x i xi 2 xi 2 n x i n 2 i 1 x i n s 2 i 1 n 1 2 Variância (Nº de Ordem) (Nota de Carlos) xi 2 i xi 01 6 36 02 4 16 03 5 25 04 4 16 05 6 36 xi 25 xi 129 2 n x i n 2 i 1 x i n s 2 i 1 n 1 252 129 2 5 s 5 1 s2 129 125 4 s2 4 4 s2 1 2 Alunos Notas Média Antônio 5 5 5 5 5 5 Carlos 6 4 5 4 6 5 José 10 5 5 5 0 5 Pedro 10 10 5 0 0 5 Variância 1 Desvio Padrão Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm) xi i ( Nº de alunos) fi 01 152 158 9 02 158 164 8 03 164 170 5 04 170 176 4 05 176 182 3 06 182 188 1 Total ( Ponto médio) xm xm fi X xm X x m X 2 f 30 i n x i 1 m . fi x m X 2 Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm) xi i ( Nº de alunos) fi ( Ponto médio) xm 01 152 158 9 155 02 158 164 8 161 03 164 170 5 167 04 170 176 4 173 05 176 182 3 179 06 182 188 1 185 Total xm fi X xm X x m X 2 f 30 i n x i 1 m . fi x m X 2 Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm) xi i ( Nº de alunos) fi ( Ponto médio) xm xm fi 01 152 158 9 155 1395 02 158 164 8 161 1288 03 164 170 5 167 835 04 170 176 4 173 692 05 176 182 3 179 537 06 182 188 1 185 185 Total f 30 X xm X x m X 2 4932 i n x i 1 m . fi x m X 2 Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm) xi i ( Nº de alunos) fi ( Ponto médio) xm xm fi X 01 152 158 9 155 1395 164 02 158 164 8 161 1288 164 03 164 170 5 167 835 164 04 170 176 4 173 692 164 05 176 182 3 179 537 164 06 182 188 1 185 185 164 Total f 30 xm X x m X 2 4932 i n x i 1 m . fi x m X 2 Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm) xi i ( Nº de alunos) fi ( Ponto médio) xm xm fi X xm X 01 152 158 9 155 1395 164 -9 02 158 164 8 161 1288 164 -3 03 164 170 5 167 835 164 3 04 170 176 4 173 692 164 9 05 176 182 3 179 537 164 15 06 182 188 1 185 185 164 21 Total f 30 x m X 2 4932 i n x i 1 m . fi x m X 2 Classes Agrupadas (Nº de Ordem) (Altura em cm) xi i ( Nº de alunos) fi ( Ponto médio) xm xm fi X xm X x m X 2 01 152 158 9 155 1395 164 -9 81 02 158 164 8 161 1288 164 -3 9 03 164 170 5 167 835 164 3 9 04 170 176 4 173 692 164 9 81 05 176 182 3 179 537 164 15 225 06 182 188 1 185 185 164 21 441 Total f 30 4932 846 i n x i 1 m . fi x m X 2 Encontrando a variância x X 2 s2 x m X 846 2 n fi 30 i n 1 Encontrando a variância x X 2 s2 x m X 846 2 n fi 30 i n 1 846 s 30 1 2 s2 846 29 s 2 29,17 O desvio Padrão amostral O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. x X 2 s Exemplo: i n 1 O desvio Padrão amostral O desvio padrão é a raiz quadrada da variância. x X 2 s i n 1 Exemplo: s 2 29,17 s 29,17 s 5,4 Estudo de Caso Alunos Notas Média Antônio 5 5 5 5 5 5 Carlos 6 4 5 4 6 5 José 10 5 5 5 0 5 Pedro 10 10 5 0 0 5 Variância 1 Desvio Padrão A variância Populacional A população é finita e consiste de N valores e uma estimativa da média da população 2 2 x i N O desvio Padrão Populacional Observou-se anteriormente que a média da amostra pode ser utilizada como uma estimativa da média da população. 2 x i N Coeficiente de Variação É a razão entre o desvio padrão e a média. O seu resultado é multiplicado por 100, para que o Coeficiente de Variação seja dado em porcentagem. s Cv .100 X Referência HAIR, Joseph F. et al. Análise Multivariada de Dados. 5ª Porto Alegre, Rs: Bookman, 1998. 51 p.