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AULA 11 - DISPERSÃO OU VARIABILIDADE
Vimos anteriormente que um conjunto de valores pode ser convenientemente
sintetizado, por meio de procedimentos matemáticos, em poucos valores
representativos – média aritmética, mediana e moda. Tais valores podem servir de
comparação para dar a posição de qualquer elemento do conjunto.
No entanto, quando se trata de interpretar dados estatísticos, mesmo aqueles
já convenientemente simplificados, é necessário ter-se uma ideia retrospectiva de
como se apresentavam esses mesmos dados nas tabelas.
Assim, não é o bastante dar uma das medidas de posição para caracterizar
perfeitamente um conjunto de valores, pois, mesmo sabendo, por exemplo, que a
temperatura média de duas cidades é a mesma, e igual a 24ºC, ainda assim somos
levados a pensar a respeito do clima dessas cidades. Em uma delas poderá a
temperatura variar entre limites de muito calor e de muito frio e haver, ainda, uma
temperatura e possuir uma temperatura média de 24ºC. A outra poderá ter uma
variação pequena de temperatura e possuir, portanto, no que se refere à
temperatura, um clima mais favorável.
Vemos, então, que a média – ainda que considerada como um número que
tem a finalidade de representar uma série de valores – não pode, por si mesma,
destacar o grau de homogeneidade ou heterogeneidade que existe entre os valores
que compõem o conjunto.
Consideremos os seguintes conjuntos de valores das variáveis x, y e z:
X: 70, 70, 70, 70, 70.
Y: 68, 69, 70, 71, 72.
Z: 5, 15, 50, 120, 160.
Calculando a média aritmética de cada um desses conjuntos, obtemos:
∑ xi ⇒ x = 350 = 70
x=
n
5
∑ yi ⇒ x = 350 = 70
y=
n
5
∑ z i ⇒ x = 350 = 70
z=
n
5
Vemos, então, que os três conjuntos apresentam a mesma média aritmética:
70.
Entretanto, é fácil notar que o conjunto X é mais homogêneo que os conjuntos
Y e Z, já que todos os valores são iguais à média.
O conjunto Y, por sua vez, é mais homogêneo que o conjunto Z, pois há
menos diversificação entre cada um de seus valores e a média representativa.
Chamando de dispersão ou variabilidade a maior ou menor diversificação
dos valores de uma variável em torno de um valor de tendência central tomado
como ponto de comparação, podemos dizer que o conjunto X apresenta dispersão
ou variabilidade nula e que o conjunto Y apresenta uma dispersão ou
variabilidade menor que o conjunto Z.
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Portanto, para qualificar os valores de uma dada variável, ressaltando a maior
ou menor dispersão ou variabilidade entre esses valores e a sua medida de posição,
a Estatística recorre às medidas de dispersão ou de variabilidade.
Dessas medidas, estudaremos a amplitude total, a variância, o desvio
padrão e o coeficiente de variação.
- Amplitude Total
DADOS NÃO-AGRUPADOS
A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor observado:
AT = x(máx) − x(mín)
Exemplo:
Para os valores: 40, 45, 48, 52, 54, 62 e 70 temos:
AT = 70 – 40 = 30.
Quando dizemos que a amplitude total dos valores é 30, estamos afirmando
alguma coisa do grau de concentração. É evidente que, quanto maior a amplitude
total, maior é a dispersão ou variabilidade dos valores da variável.
Relativamente aos três conjuntos de valores mencionados no início deste,
temos:
ATx = 70 – 70 = 0 (dispersão nula)
ATy = 72 – 68 = 4
ATz = 160 – 5 = 155
DADOS AGRUPADOS
• Sem intervalos de classe
Neste caso, ainda temos:
AT = x(máx) − x(mín)
Exemplo:
Considerando a TABELA 1:
TABELA 1 – INDÚSTRIA DE BEBIDAS ALFA
NÚMERO DE DEPENDENTES DOS FUNCIONÁRIOS – 2003
xi
0
1
2
3
4
fi
2
6
12
7
3
Σ = 30
FONTE: Departamento Pessoal
temos: AT = 4 – 0 = 4.
•
Com intervalos de classe
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Neste caso, a amplitude total é a diferença entre o limite superior da última
classe e o limite inferior da primeira classe:
AT = L(máx) − l (mín)
Exemplo:
Considerando a distribuição da TABELA 2:
TABELA 2 – INDÚSTRIA DE BEBIDAS ALFA
ESTATURAS DOS FUNCIONÁRIOS – 2002
ESTATURAS (cm)
fi
150 I----------- 154
154 I----------- 158
158 I----------- 162
162 I----------- 166
166 I----------- 170
170 I----------- 174
4
9
11
8
5
3
Σ f i = 40
FONTE: Departamento Pessoal
temos: AT = 174 –150 = 24
A amplitude total tem o inconveniente de só levar em conta os dois valores
extremos da série, descuidando do conjunto de valores intermediários, o que quase
sempre invalida a idoneidade do resultado. Ela é apenas uma identificação
aproximada da dispersão ou variabilidade.
Faz-se uso da amplitude total quando se quer determinara amplitude da
temperatura em um dia ou no ano, no controle de qualidade ou como uma medida
de cálculo rápido, e quando a compreensão popular é mais importante que a
exatidão e a estatibilidade.
- Variância e Desvio Padrão
Como vimos, a amplitude total é instável, por se deixar influenciar pelos
valores, que são, na sua maioria, devidos ao acaso.
A variância e o desvio padrão são medidas que fogem a essa falha, pois
levam em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo, o que faz
delas índices de variabilidade bastante estáveis e, por isso mesmo, os mais
geralmente empregados.
A variância baseia-se nos desvios em torno da média aritmética, porém
determinando a média aritmética dos quadrados dos desvios.
Lembremos que
∑ d i = ∑ ( xi − x ) = 0
Assim, representando a variância por s2, temos:
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s
2
∑ ( x − x)
=
∑f
2
∑ (x
=
2
i
i
Ou, lembremos que
∑f
i
= n:
s
2
i
− x)
n
OBS.: Quando nosso interesse não se restringe à descrição dos dados mas,
partindo da amostra, visamos tirar inferências válidas para a respectiva população,
convém efetuar uma modificação, que consiste em usar o divisor n - 1 em lugar de n.
Podemos, ainda, com o intuito de conservar a definição, calcular a variância
n
.
usando o divisor de n e, em seguida, multiplicar o resultado por
n −1
Sendo a variância calculada a partir dos quadrados dos desvios, ela é um
número em unidade quadrada em relação à variável em questão, o que, sob o ponto
de vista prático, é um inconveniente.
Por isso mesmo, imaginou-se uma nova medida que tem utilidade e
interpretação práticas, denominada desvio padrão, definida como a raiz quadrada
da variância e representada por s:
s = s2
Assim:
s=
∑ (x
i
− x)
2
n
Tanto o desvio padrão como a variância são usados como medidas de
dispersão ou variabilidade. O uso de uma ou de outra dependerá da finalidade que
se tenha em vista.
A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística
descritiva, porém é extremamente importante na inferência estatística e em
combinações de amostras.
Embora a fórmula dada para o cálculo do desvio seja a que torna mais fácil a
sua compreensão, ela não é uma boa fórmula para fins de computação, pois, em
geral, a média aritmética é um número fracionário, o que torna pouco prático o
cálculo das quantidades ( xi − x) 2 .
Podemos simplificar os cálculos fazendo uso da igualdade:
(∑ xi ) 2
2
2
∑ ( xi − x ) = ∑ x i − n
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Assim, substituindo na equação do desvio padrão obtemos:
∑x
2
i
s=
−
(∑ xi ) 2
n
n
que pode ser escrita do seguinte modo:
s=
∑x
n
2
i
−
(∑ x i ) 2
n2
Não apenas este método é usualmente mais prático, como também mais
preciso. Quando a média não é exata e tem de ser arredondada, cada desvio fica
afetado ligeiramente do erro, devido a esse arredondamento. O mesmo acontece
com os quadrados, podendo os resultados do cálculo ser menos exatos do que
quando essa segunda fórmula é usada.
O desvio padrão admite algumas propriedades, dentre as quais destacamos:
1. Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante à todos os valores de uma
variável, o desvio padrão não se altera:
y i = xi ± c ⇒ s y = s x
2. Multiplicando-se todos os valores de uma variável por uma constante
(diferente de zero), o desvio padrão fica multiplicado por essa constante:
yi = c.xi ⇒ s y = c.s x
Essas propriedades nos permitem introduzir, no cálculo do desvio padrão,
simplificações úteis.
Para o cálculo do desvio padrão, consideremos os seguintes casos:
DADOS NÃO AGRUPADOS
Tomemos, como exemplo, o conjunto de valores da variável x:
40, 45, 48, 52, 54, 62, 70
O modo mais prático para se obter o desvio padrão é formar uma tabela com
duas colunas: uma para xi e outra para xi2. Assim:
xi
40
45
48
52
54
62
70
Σ = 371
xi
2
1600
2025
2304
2704
2916
3844
4900
Σ = 20293
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Como n = 7, temos:
20293 3712
− 2
7
7
s=
s = 9,486
DADOS AGRUPADOS
• Sem intervalos de classe
Como, neste caso, temos a presença de frequências, devemos levá-las em
consideração, resultando a fórmula:
s=
∑fx
i
n
2
i
−
( ∑ f i xi ) 2
n2
Consideremos, como exemplo, a distribuição da TABELA 1.
O modo mais prático para se obter o desvio padrão é abrir, na tabela dada, uma
coluna para os produtos fixi e outra para fixi2, lembrando que para obter fixi2 basta
multiplicar cada fixi pelo seu respectivo xi. Assim:
TABELA 1 – INDÚSTRIA DE BEBIDAS ALFA
NÚMERO DE DEPENDENTES DOS FUNCIONÁRIOS – 2003
xi
fi
0
1
2
3
4
o
fixi
2
6
12
7
3
Σ = 30
0
6
24
21
12
Σ = 63
fixi
2
0
6
48
63
48
Σ = 165
FONTE: Departamento Pessoal
Logo:
s=
165 63 2
−
30 30 2
s = 1,04
DADOS AGRUPADOS
• Com intervalos de classe
Tomemos como exemplo a distribuição da TABELA 2.
Começamos por abrir as colunas para xi (ponto médio), para fixi e para fixi2.
Assim:
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TABELA 2 – INDÚSTRIA DE BEBIDAS ALFA
ESTATURAS DOS FUNCIONÁRIOS – 2002
ESTATURAS (cm)
150 I----------- 154
154 I----------- 158
158 I----------- 162
162 I----------- 166
166 I----------- 170
170 I----------- 174
xi
fi
4
9
11
8
5
3
Σ = 40
152
156
160
164
168
172
fixi
608
1404
1760
1312
840
516
Σ = 6440
fixi2
92416
219024
281600
215168
141120
88752
Σ = 1038080
FONTE: Departamento Pessoal
Logo:
1038080 6440 2
s=
−
40
40 2
s = 5,57 cm.
- Coeficiente de Variação
O desvio padrão por si só não nos diz muita coisa. Assim, um desvio padrão
de duas unidades pode ser considerado pequeno para uma série de valores cujo
valor médio é 200; no entanto se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito.
Além disso, o fato de o desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados
limita seu emprego quando desejamos comparar duas ou mais séries de valores,
relativamente à sua dispersão ou variabilidade, quando expressas em unidades
diferentes.
Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos caracterizar a
dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor médio, medida
essa denominada coeficiente de variação (CV):
s
CV = .100
x
Para a distribuição da TABELA 2, onde x = 161 cm e s = 5,57 cm, temos:
CV =
5,57
.100 = 3,359
161
CV = 3,5%
OBS.: Embora para qualificar a dispersão de uma distribuição, seja mais proveitoso
o coeficiente de variação, não devemos deduzir daí que a variância e o desvio
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padrão não têm utilidade. Pelo contrário, são medidas muito úteis no tratamento de
assuntos relativos à inferência estatística.
- Exercícios de Aplicação
1. Calcule a amplitude total dos conjuntos de dados:
a) 1, 3, 5, 9 (R: 8)
b) 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20 (R: 8)
c) 17,9; 22,5; 13,3; 16,8; 15,4; 14,2 (R: 9,2)
d) –10, -6, 2, 3, 7, 9, 10 (R: 20)
2. Calcule a amplitude total das distribuições:
a)
fi
xi
2
1
3
3
4
5
5
8
6
5
7
4
8
2
(R: 6)
b)
CLASSES
1,5 I--- 1,6
1,6 I--- 1,7
1,7 I--- 1,8
1,8 I--- 1,9
1,9 I--- 2,0
2,0 I--- 2,1
2,1 I--- 2,2
fi
4
8
12
15
12
8
4
(R: 0,7)
3. Calcule os desvios padrões dos conjuntos a seguir:
a) 1, 3, 5, 9 (R: 2,96)
b) 20, 14, 15, 19, 21, 22, 20 (R: 2,81)
c) 17,9; 22,5; 13,3; 16,8; 15,4; 14,2 (R: 3,02)
d) –10, -6, 2, 3, 7, 9, 10 (R: 7,04)
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4. Calcule os desvios das distribuições a seguir:
a)
fi
xi
2
1
3
3
4
5
5
8
6
5
7
4
8
2
(R: 1,51)
b)
CLASSES
1,5 I--- 1,6
1,6 I--- 1,7
1,7 I--- 1,8
1,8 I--- 1,9
1,9 I--- 2,0
2,0 I--- 2,1
2,1 I--- 2,2
fi
4
8
12
15
12
8
4
(R: 0,16)
5. Dada a distribuição relativa a 100 lançamentos de 5 moedas simultaneamente:
Nº de CARAS
0
1
2
3
4
5
Calcule o desvio padrão. (R: 1,13)
fi
6. Calcule o desvio padrão da distribuição:
CLASSES
fi
2 I--- 6
6 I--- 10
10 I--- 14
14 I--- 18
18 I--- 22
(R: 4,45)
4
16
34
29
16
3
5
12
21
15
7
7. Sabendo-se que um conjunto apresenta para média aritmética e para desvio padrão,
respectivamente, 18,3 e 1,47, calcule o coeficiente de variação. (R: 8,03%)
8. Em um exame final de Matemática, o grau médio de um grupo de 150 alunos foi 7,8
e o desvio padrão, 0,80. Em Estatística, entretanto, o grau médio final foi 7,3 e o
desvio padrão, 0,76. Em que disciplina foi maior a dispersão. (R: 10,26%; 10,41%;
Estatística)
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9. Medidas as estaturas de 1017 indivíduos, obtivemos média 162,2 cm e desvio
padrão 8,01 cm. O peso médio desses mesmos indivíduos é 52 kg, com um desvio
padrão de 2,3 kg. Esses indivíduos apresentam maior variabilidade em estatura ou
em peso? (R: 4,94%; 4,42%; estatura)
10. Um grupo de 85 moças tem estatura média de 160,6 cm, com um desvio padrão
igual a 5,97 cm. Outro grupo de 125 moças tem uma estatura média de 161,9 cm,
sendo o desvio padrão igual a 6,01 cm. Qual é o coeficiente de variação de cada um
dos grupos? Qual o grupo mais homogêneo? (R: 3,72%; 3,71%; 2º grupo)
11. Uma distribuição apresenta as seguintes estatísticas: s = 1,5 e CV = 2,9%.
Determine a média da distribuição. (R: 51,72)
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