1
2
Moda
Sumário (4ª aula), pp. 24 - 30
• Se a variável não for cardinal, não se pode calcular a
1. Conceitos básicos de estatística descritiva
1.4 Medidas de tendência central
1.4.6 Moda
1.5 Medidas de dispersão
1.5.1 Amplitude
1.5.2 Variância (desvio quadrático médio)
1.5.3 Desvio Padrão
1.5.4 Variância e desvio padrão amostrais
1.5.5 Variância e desvio padrão ponderados e com
dados agrupados
• Média
• Mediana
• Como se caracteriza os portugueses quanto a
• “Barbeado”, “bigode”, “pêra”, “barba”?
• Somos barbeados
3
4
Moda
Moda
• Barbeado é o mais frequente na população
• A moda também pode ser utilizado com dados
cardinais e ordinais
• A moda é a classe mais frequente e pode ser
utilizada com dados categóricos
• Para haver classe modal temos que agrupar os
indivíduos em classes
• Exemplo: Em Portugal, os carros são
• Fica a nota que na disciplina de Estatística aplicarão
o conceito de moda a “funções distribuição”.
ü 19,5% cinzentos, 13,4% brancos,
ü 17,4% Vermelhos, 32,5% pretos,
ü 7,5% prateados, 9,7% de outra cor.
Qual é a classe modal (a moda)?
5
Medidas de dispersão
• As medidas de tendência central condensam a
população no “indivíduo típico”, no “indivíduo mais
representativo”, no “indivíduo comum”.
6
Medidas de dispersão
• Por exemplo,
• Supondo que a mediana do rendimento disponível per
capita em Portugal é de 3500 €/ano
• Mas também interessa saber se há heterogeneidade
na população
• Haverá muitos pobres (abaixo de 2100 €/ano)?
• Se há muitos indivíduos diferentes do típico
• (o rendimento é uma aproximação da riqueza)
• Haverá que muitos ricos (acima de 7000 €/ano)?
1
7
Medidas de dispersão
8
Amplitude
• A tabela de frequências relativas contém
• A amplitude é a diferença máxima entre dois
informação sobre a dispersão /heterogeneidade
indivíduos
• Mas queremos
• Ordenados os indivíduos
• Uma medida de dispersão que condensa num
número a heterogeneidade da população
• É a diferença entre o “maior” e o “menor”
A = x ( n ) − x (1)
9
Amplitude
10
Propriedades da Amplitude
• Não é uma boa medida da variabilidade
a ⋅ x( n ) − a ⋅ x(1) , a ≥ 0
A (a ⋅ x ) = 
=
a ⋅ x(1) − a ⋅ x( n ) , a < 0
• Muito sensível a valores extremos
Populações muito diferentes podem ter a mesma amplitude
= a ⋅ ( x( n ) − x(1) ) = a ⋅ A( x )
• A amplitude amostral tem tendência a crescer
com o tamanho da amostra
11
Propriedades da Amplitude
A(a + x) = (a + x( n) ) − (a + x(1) )
12
Variância – Desvio quadrático médio
σ2 =
( x1 − µ )2 + ( x2 − µ )2 + ... + ( xn − µ )2
N
N
= (a − a) + ( x(n ) − x(1) ) = A( x )
=
∑ (x − µ )
2
i
i =1
N
2
13
Variância – Desvio quadrático médio
14
Desvio médio?
médio?
• Na física, esta medida traduz a dificuldade de um
corpo rodar
Porque não usar o desvio médio?
( x1 − µ ) + ( x2 − µ ) + ... + ( xn − µ ) =
• Quanto maior for, maior será a energia necessária
para que ele rode à velocidade de uma volta por
segundo
N
N
=
• Se a patinadora fechar os braços roda mais depressa
porque o seu “desvio quadrático médio” diminui.
N
∑x ∑ µ
i
i =1
N
−
i =1
N
= x−µ =0
15
Variância – Desvio quadrático médio
Variância – Desvio quadrático médio
Multiplicando por k, a variância vem multiplicada por k2
• A variância de uma população com todos os
indivíduos idênticos é zero.
σ2=
(a − µ )2 + (a − µ )2 + ... + (a − µ )2
N
N
σ 2 (a ⋅ x ) =
N
µ =∑a/ N = a
i =1
σ2=
16
(a − a )
2
N
2
i =1
N
=
a 2 ⋅ ∑ (x − µ )
2
i =1
N
2
17
Variância – Desvio quadrático médio
• As unidades da variância são ao quadrado
n
= σ 2 ( x)
n
2
2
∑ ((a + x) − (a + µ) ) ∑ ( x − µ )
i=1
n
18
Variância – Desvio padrão
• Somando k, a variância vem igual
σ 2 (a + x ) =
=
= a 2 ⋅ σ 2 ( x)
+ (a − a ) + ... + (a − a)
=0
N
2
∑ (a ⋅ x − a ⋅ µ )
=
i=1
n
=
• Por exemplo, a variância da população quanto à
altura é em “metros ao quadrado”
• Qual o significado de “unidades ao quadrado”?
• Podemos traduzir a variância em “unidades”
3
19
Variância – Desvio padrão
Variância – Desvio padrão
• O desvio padrão é a raiz quadrada do desvio
quadrático médio
N
∑ (x
σ = σ2 =
20
i =1
• Como interpretamos o desvio padrão?
• Sendo que a altura média é 1,75 m e o desvio padrão
é 0,15 m, o que isto quer dizer?
− µ)
2
i
Sem mais informação, é como se metade da população
tivesse 1,60 m e a outra metade 1,90 m.
N
21
Variância – Desvio padrão
µ* =
22
Como obtenho a variância com uma amostra?
amostra?
( µ − σ ) + ( µ + σ ) + ... (µ + µ) + (σ − σ ) + ...
=
=µ
N
N
• A melhor forma é calcular o desvio quadrático médio
mas dividindo por (n-1)
n
( µ −σ − µ ) 2 + ( µ + σ − µ ) 2 + ...
σ * = σ *2 =
=
N
=
S =
2
σ + σ + ...
= σ2 =σ
n
2
2
(xi − x )
(x1 − x )2 + (x2 − x )2 + ...+ (xn − x )2 ∑
i =1
n −1
=
n −1
• Resultado de eu não conhecer a média da população
e precisar de utilizar a média amostral.
23
Como obtenho a variância com uma amostra?
amostra?
• Obtenho o desvio padrão pela raiz quadrada
24
E com dados agrupados
agrupados?
?
• Considero na mesma o ponto médio de cada grupo
S =
2
n
S= S =
2
∑ (x
i =1
i
− x )2
n −1
2
2
2

n 
w1 ( x1 − x ) + ... + wn (x n − x )
w
2
= ∑  n i ( xi − x ) 
w1 + ...+ wn

i =1  ∑
w
 j =1 j

n
[
= ∑ fi ⋅ (xi − x )
i =1
2
]
n
• A média amostral é a ponderada: x = ∑ ( fi ⋅ xi )
i =1
• Assumo que n ≈ n –1
4