1
Estatística e Probabilidade
Aula 8
Medidas de Dispersão
Professor Luciano Nóbrega
Medidas de dispersão
Suponha que eu quisesse comparar os resultados de três turmas.
Observe as notas de uma amostra de sete alunos de cada turma:
A] 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5
B] 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6
C] 1, 2, 5, 5, 5, 8, 9
Média; Moda; Mediana.
Vejamos as medidas de tendência central de cada uma das turmas:
A] x = 5
mo = 5
md = 5
B] x = 5
mo = 5
md = 5
C] x = 5
mo → 5
md = 5
As três situações se comportam de maneiras distintas, embora tenham
valores iguais de média, moda e mediana. Para diferenciar esse
comportamento, é que usamos as medidas de dispersão.
Desvio padrão e variância.
Medidas de dispersão
Variância ( “Var” ou “ σ2 ”)
A variância é usada para avaliar o grau de variação em
relação à média.
Desvio padrão ( “DP” ou “ σ ”)
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância.
O desvio padrão é, na verdade, um ajuste da
variância, uma vez que, como veremos, a
variância nos fornece uma “unidade
quadrada” que, dependendo do contexto,
pode não ter significado.
Medidas de dispersão
Cálculo da variância
Dados não agrupados (ou em ROL)
A variância é dada pela fórmula:
Já o desvio padrão:
σ2 = ∑ (xi – x)2
σ = √Var
Exemplos:
n
Calcule a variância e o desvio padrão das sequências:
a) 4, 5, 6, 9 Solução:
1º) a média; x = (4 + 5 + 6 + 9):4 = 6
2º) ∑(xi – x)2
(4 – 6)2 + (5 – 6)2 + (6 – 6)2 + (9 – 6)2 = ( –2)2 + (–1)2 + 02 + 32
= 4 + 1 + 0 + 9 = 14
3º) Dividindo por n
4º) Desvio padrão
14 : 4 = 3,5 Portanto Var = 3,5
DP = √ Var = √3,5 = 1,87
σ2 = ∑ (xi – x)2
n
σ = √ Var
Medidas de dispersão
Exemplos:
b) 8, 10, 11, 15, 16, 18
c) 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5
3º) Dividindo por ∑ fi
28/
25 = 1,12 Portanto, Var = 1,12
4º) Desvio padrão
DP = √1,12 = 1,05
Medidas de dispersão
Cálculo da variância
Dados agrupados mas sem intervalos de classes
A variância é dada pela fórmula:
Já o desvio padrão:
σ2 = ∑ (xi – x)2.fi
Exemplo:
∑fi
σ = √Var
OBS: a diferença é “fi”.
Calcule a variância e o desvio padrão das séries:
a)
1º) a média; x = 495/25 = 19,8
x f xf
i
i
18 3
i i
54
19 8
152
100
20 5
189
21 9
25 495
2º) ∑(xi – x)2.fi
(18 – 19,8)2.3 + (19 – 19,8)2.8 +
+ (20 – 19,8)2.5 + (21 – 19,8)2.9
( –1,8)2.3 + ( – 0,8)2.8 + (0,2)2.5 + (1,2)2.9
3,24.3 + 0,64.8 + 0,04.5 + 1,44.9
9,72 + 5,12 + 0,2 + 12,96 = 28
Medidas de dispersão
Cálculo da variância
Dados agrupados mas sem intervalos de classes
A variância é dada pela fórmula:
Já o desvio padrão:
σ2 = ∑ (xi – x)2.fi
Exemplo:
∑fi
σ = √Var
OBS: a diferença é “fi”.
Calcule a variância e o desvio padrão das séries:
b)
xi fi xifi
2
4
3
10
5
6
9
2
Medidas de dispersão
Exemplo:
Calcule a variância e o desvio padrão das séries:
c)
xi fi
25 12
40 18
55 15
80 21
Medidas de dispersão
Cálculo da variância
Dados agrupados com intervalos de classes
A variância é dada pela fórmula:
Já o desvio padrão:
σ2 = ∑ (xi – x)2.fi
∑fi
Aqui, “xi” é o ponto médio da classe
σ = √Var
σ2 = ∑ (xi – x)2
n
Medidas de dispersão
Exemplo:
Calcule a variância e o desvio padrão da série:
4450/
a) Altura (cm)
1º)
x
=
25 = 178
f x
xf
i
155 |--- 165
3
i
i i
160 480
165 |--- 175 8 170 1360
175 |--- 185 5 180 900
185 |--- 195 9 190 1710
25
4450
2º) ∑(xi – x)2.fi
3º ) σ2 = ∑ (xi – x)2
∑fi
σ2 = 2340/25 = 93,6
4º) σ = √93,6 = 9,67
(160 – 178)2.3 + (170 – 178)2.8 + (180 – 178)2.5 + (190 – 178)2.9
(–18)2.3 + (–8)2.8 + 22.5 + 122.9 = 324.3 + 64.8 + 4.5 + 144.9 = 2340
Testando os conhecimentos
Determine a variância e o desvio padrão da série que
representa a distribuição dos salários dos funcionários de
um escritório de contabilidade:
Salários (R$)
fi
1000 |--- 1200
2
1200 |--- 1400
5
1400 |--- 1600
10
1600 |--- 1800
5
1800 |--- 2000
2