6. Média, Variância, Momentos e Função Característica
A função densidade de probabilidade de uma v.a X, f X (x).
representa uma informação complete a respeito da v.a. X e
e de todo subconjunto B mapeado sobre o eixo- x
P X ( )  B    f X ( x )dx.
B
Se é desejado representar-se alguma informação mais (6-1)
detalhada ou caracterizar, por exemplo, o comportamento
médio de uma v.a. X, então é necessário introduzir neste
contexto dois importante parâmetros que são: média e
variância, que são usados para caracterizar todas as
propriedades de uma v.a. X e de sua função densidade de
probabilidade, f X (x).
1
A Média ou Valor Esperado de uma v.a. X é definido

como:
 X  X  E ( X )   x f X ( x)dx.

Se X é uma v.a. do tipo discreta, então
 X  X  E ( X )   x  pi ( x  xi )dx   xi pi   ( x  xi )dx
i
i
1
  xi pi   xi P ( X  xi ) .
i

 

i
Portanto, a média representa o valor de uma v.a. mais
provável de ocorrer, quando um número muito grande de
um dado experimento é repetido. Por exemplo, se X é uma
v.a. uniformemente distribuída no intervalo (a,b), o valor
médio é dado por:
E( X ) 

b
a
2 b
x
1 x
dx 
ba
ba 2
a
b2  a 2
ab


2( b  a )
2
2
Por outro lado, se X é exponencial com parâmetro  , então:
E( X )  

x
0

e
x / 

dx    ye  y dy   ,
0
Se X é v.a. de Poisson com parâmetro  , então
k





E( X ) 
 kP( X
 k) 
k 0
 e  
k 1
k!
k 0
k

 ke
(k  1)!

i
i 0
i!
 e  
e

k
k 1
k!
k
 e  e  .
Para uma v.a. X com f.d.p. binomial:
n
 n  k n k
n!
E ( X )   kP( X  k )   k   p q   k
p k q n k
(n  k )!k!
k 0
k 0  k 
k 1
n
n 1
n!
(n  1)!
k n k

p q  np
pi q n i 1  np( p  q)n 1  np.
k 1 ( n  k )!( k  1)!
i 0 ( n  i  1)!i!
3
n
n
Quando X é uma v.a. gaussiana,
E( X ) 

1
2
1
2
2
2




xe
 ( x   ) 2 / 2 2
1
dx 
dy   
ye


 y 2 / 2 2

0
2
1
2





( y   )e
 y 2 / 2 2
 y 2 / 2 2
e
dy   .

2
2

1
Se Y  g ( X ) representa uma nova v.a. com f.d.p. fY ( y ). ,
então o valor médio de y é dado por:
Y  E (Y )  


y fY ( y )dy.
Mas, para calcular E (Y ), é necessário determinar fY ( y ).
Relembrando que, para qualquer y,
P y  Y  y  y    Pxi  X  xi  xi  ,
y  0
i
onde xi representa as múltiplas soluções de y  g ( xi ).
4
dy
Pode -se escrever que fY ( y )y   f X ( xi )xi ,
i
onde xi , xi  xi  são intervalos que não se sobrepõe, então
y fY ( y )y   y f X ( xi )xi   g ( xi ) f X ( xi )xi ,
i
Então fazendo y  0, tem-se:
E (Y )  E g ( X )   


i
y fY ( y )dy  


g ( x) f X ( x)dx.
Para o caso discreto a expressão reduz-se a:
E (Y )   g ( xi )P( X  xi ).
i
Exemplo: Se X é uma v.a. de Poisson, determine o valor
médio de Y  X 2 .
E(Y )  E( g ( X ))  E( X 2 )
5


k
k 0
k 0
k!
E X 2    k 2 P ( X  k )   k 2 e  

 e   k
k 1
k
( k  1)!

k
k 1
k!
 e   k 2

i 1
i 0
i!
 e   (i  1)
i
i
i











 
 e   i     e   i  e 
 i 0 i! i 0 i! 
 i 1 i!

i
m 1










 



 e  
 e   e  
 e 
 i 1 (i  1)!

 m 0 m!

 e  e   e    2   .
Em geral, E X k  é conhecido como o k-ésimo momento da
v.a. X.
E(X 2 )  2  
é o segundo momento da v.a. de Poisson.
6
A média sozinha não caracteriza totalmente a f.d.p. de uma
v.a.. Para ilustrar este fato, considere duas variáveis
aleatórias gaussianas, X1 ~ N (0,1) e X 2 ~ N (0,10), isto é,
ambas tem média   0, no entanto suas f.d.p.’s são
diferentes, como pode ser visto na figura abaixo. Uma é
mais concentrada torno da média, enquanto a outra é mais
dispersa. Claramente, há necessidade de um outro
parâmetro para caracterizar as f.d.p.’s das variável
aleatórias X1 e X2 . O parâmetro que caracteriza essa
dispersão em torno da média chama-se variância.
f X1 ( x1 )
f X 2 ( x2 )
x1
(a)  2  1
x2
(b)  2  10
7
Para uma v.a. X com média  , X   representa o
desvio da v.a. em relação à média. Uma vez que esse desvio
pode ser positivo ou negativo, considera-se então X    2 ,
cujo valor esperado E[ X    2 ] representa o valor médio
quadrático dos desvios em torno da média. Definindo

  E[ X    2 ]  0.
2
X
e considerando que g( X )  ( X   )2 tem-se:

   ( x   )2 f X ( x)dx  0.
2
X

 2 é conhecido como a variância da v.a. X, e a sua raiz
quadrada  X  E ( X   )2 é conhecido como desvio padrão
de v.a. X. Assim o desvio padrão está relacionado com a
raiz quadrada do espalhamento de uma v.a. em torno da
8
média  ..
X
Expandindo a equação e usando a propriedade da
linearidade tem-se:
Var( X )  

2
X



x


2
 2 x   2  f X ( x )dx

x f X ( x )dx  2   x f X ( x )dx   2
 E X
2

2
 
2
 E X
2
  E ( X )
2
___
2
X X .
2
Que pode ser usado como outra alternativa para calcular  2 .
X
Assim, por exemplo, retornando à v.a. de Poisson, pode-se
calcular a variância da v.a. X.
  X  X  2     2  .
2
___
2
2
X
Assim, para a v.a. de Poisson, a média e a variância são
ambas iguais ao parâmetro .
9
Determinação da variância de uma variável aleatória com
distribuição normal N (  , 2 ),
Var( X )  E[( X   ) ]  
2


x   
1
2
2
2
e
( x   ) 2 / 2 2
dx.
Para simplificar, pode-se usar a identidade
Então,





f X ( x )dx  


1
2 2
e
( x   ) 2 / 2 2
dx  1
e
dx  2  .

Diferenciando ambos os lados da equação a  , tem-se:
2
 ( x   )
( x   ) / 2
e
dx  2
   3

ou
1
2
( x   ) / 2
2


x


e
dx


,
 
2
2
10
Portanto: Var( X )   2
( x   )2 / 2 2
2
2
2
2
Momentos: o momento de uma v.a. X é definido como:
___
n
mn  X  E ( X n ), n  1
e n  E[( X   )n ] é conhecido como momento central da
v.a. X (momento em relação a média). Assim   m1 e  2  2 .
Relação entre  n e mn
 n n k
n
n k 
n  E[( X   ) ]  E    X (   ) 
 k 0  k 
n
k
n k


 
E
X
(


)


k 
k 0 

n

n
n k
m
(


)
.



k  k
k 0 

n
Em geral a quantidade E[( X  a)n ] é conhecida como
momento generalizado de X em relação a a e E[| X |n ]
é conhecida como momento absoluto de X.
11
0,
n ímpar,

E( X )  
n
1

3

(
n

1
)

, n par.

n
Caso particular: Variável aleatória gaussiana X N (0, 2 ),
n

1

3

(
n

1
)

,
n par,

n
E (| X | )   k
2 k! 2k 1 2 /  , n  (2k  1), n ímpar.
12