1. Conceitos Iniciais
Denomina-se equação polinomial ou equação algébrica de
grau n, na variável x e C, toda equação que pode ser reduzida
à forma:
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x1 + a0 = 0.
Nessa igualdade an, an1, ... , a2, a1 e a0 são números
complexos chamados coeficientes; n  IN*; an  0 e a0 é o
termo independente.
Exemplos:
3x - 4 = 0 é uma equação algébrica do 1º grau.
2x2  5x + 8 = 0 é uma equação algébrica do 2º grau.
4x3 + 5x2  3x + 4 = 0 é uma equação algébrica de grau 3.
x5  2/3x4 + 3x  6 = 0 é uma equação algébrica de grau 5
2. Raiz ou Zero de Uma Equação
Denomina-se raiz ou zero de uma equação polinomial P(x) = 0
todo número complexo  para o qual P() = 0 é uma sentença
verdadeira.
 é raiz de P(x)  P() = 0
Na equação algébrica x3 + 2x2  13x + 10 = 0, por exemplo,
temos:
2 é raiz da equação, pois:
(2)3 + 2  (2)2  13  (2) +10 = 0
3 não é raiz da equação, pois:
(3)3 + 2  (3)2  13  (3) + 10 = 16  0
3. Conjunto Solução
Chamamos de conjunto solução ou conjunto verdade, num
certo conjunto universo U, o conjunto das raízes da equação
algébrica que pertencem a U.
Quando não citarmos o conjunto universo de uma equação
algébrica estaremos considerando-o como sendo o conjunto
dos números complexos.
Resolver uma equação algébrica é encontrar o seu conjunto
solução ou conjunto verdade.
4. Teorema Fundamental da Álgebra
Nas equações do 1º e do 2º grau, os zeros ou raízes da
equação são obtidos por fórmulas que envolvem os
coeficientes das equações, as operações fundamentais e a
extração de raízes.

ax + b = 0 com a  0 é uma equação do 1a grau cuja raíz
é:
b
 b


 S   
a
 a
ax2 + bx + c = 0 com a  0 é uma equação do 2º grau cujas
raízes são:
 b    b   , com  = b2  4ac.
e
2a
2a
 b    b   
S 
,

2a 
 2a
4. Teorema Fundamental da Álgebra
Para a resolução de equações de grau igual ou maior que 3,
utilizamos métodos baseados no teorema fundamental da
Álgebra, enunciado abaixo:
Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n (n  1), tem
pelo menos uma raiz real ou complexa.
5. Teorema da Decomposição
Observe os polinômios a seguir e as suas raízes:
P1(x) = 4x  12 de raiz 3
P2(x) = x2  5x + 6 de raízes 2 e 3
P3(x) = x3 + x2  4x - 4 de raízes 2, 1 e 2
P4(x) = x4  5x2  36 de raízes 3, 3, 2i e 2i
Cada um dos polinômios acima pode ser escrito nas seguintes
formas fatoradas:
P1(x) = 4x  12  P1(x) = 4(x  3)
P2(x) = x2  5x + 6  P2(x) = (x  2)(x  3)
P3(x) = x3 + x2  4x  4  P3(x) = (x + 1)(x  2)(x + 2)
P4(x) = x4  5x  36  P4(x) = (x  3)(x + 3)(x  2i)(x + 2i)
5. Teorema da Decomposição
De maneira geral, todo polinômio
P(x) = anxn + an1xn1 + ... + a2x2 + a1x + a0
pode ser escrito na forma fatorada:
P(x) = an(x  1) (x  2) ... (x  n)
em que 1, 2 ...,n são as raízes de P(x).
Daí, podemos enunciar o seguinte teorema:
Toda equação polinomial P(x) = 0, de grau n, n1, tem
exatamente n raízes reais ou complexas.
A forma fatorada de P(x) = an(x  1)(x  2) ... (x  n) mostra
que o conjunto solução da equação P(x) = 0 tem no máximo n
elementos, pois não sabemos se os números 1, 2, 3, ..., n
são todos distintos dois a dois. Considerando que a ordem dos
fatores não altera o produto, essa decomposição é única.
6. Multiplicidade de uma raiz
As raízes de uma equação algébrica podem ser todas distintas
ou não.
Se um número  for uma só vez raiz de uma equação
algébrica, ele será chamado raiz simples.
Se uma equação algébrica tiver duas raízes iguais a um certo
número, esse número será uma raiz de multiplicidade 2, isto
é, será uma raiz dupla; se tiver três raízes iguais, o número
será uma raiz de multiplicidade 3, isto é, será uma raiz
tripla, e assim sucessivamente.
Seja a equação algébrica:
(x  2)2.(x + 1)3.(x  3) = 0,
que pode ser colocada na forma:
(x  2)(x  2)(x + 1)(x + 1)(x + 1)(x  3) = 0.
6. Multiplicidade de uma raiz
Podemos observar que a equação tem 6 raízes:

uma raiz dupla igual a 2;

uma raiz tripla igual a 1;

e uma raiz simples igual a 3.
De uma maneira geral, se um polinômio P(x) é tal que:
P(x) = (x  )m  Q(x)
com Q()  0, dizemos que  é raiz de multiplicidade m da
equação P(x) = 0.
OBSERVAÇÃO: Toda equação algébrica, cujo termo
independente é zero, admite o número zero como raiz de
multiplicidade igual ao menor expoente da incógnita.
Exemplo:
x3 – 4x2 + 5x = 0  x(x2 – 4x + 5) = 0  uma raiz nula.
7. Teorema das Raízes Complexas
Todo polinômio, com coeficientes reais, que admite uma raiz
complexa não real (a + bi, com b ≠ 0) admite também o seu
conjugado (a – bi, com b ≠ 0).
Exercício Resolvido 1:
Dado P(x) = x4 + x2 - 2x + 6, verificar se 1 + i é raiz de
P(x).
Resolução:
P(1 + i) = (1 + i)4 + (1 + i)2 – 2(1 + i) + 6
P(1 + i) = – 4 + 2i – 2 – 2i + 6
P(1 + i) = 0
Observe que se 1 + i é raiz de P(x), então seu conjugado 1 –
i, também será.
Observações Importantes:
1) Se um número complexo é raiz de multiplicidade m de um
polinômio, então seu conjugado também será;
2) Numa equação de terceiro grau, pelo menos uma das
raízes será real. Aliás, numa equação de grau ímpar pelo
menos uma das raízes será real.
3) O número de raízes complexas, não reais, de um polinômio
será sempre par (de duas em duas – a raiz e seu
conjugado)
Exercício Resolvido 2:
Qual o menor grau possível para uma equação
polinomial de coeficientes reais que admita as raízes
-2, 3i e 1 – i?
Resolução:
Incluindo os conjugados podemos perceber que a equação
possui pelo menos 5 raízes... portanto, no mínimo, GRAU 5.
Exercício Resolvido 3:
Resolver, em C, a equação polinomial
x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 = 0 sabendo que 2i é uma de
suas raízes.
Resolução:
• Se 2i é raiz, então P(x) = x4 – 2x3 + x2 – 8x – 12 = 0 é divisível por
(x – 2i);
• - 2i , conjugado de 2i, também é raiz, então P(x) = x4 – 2x3 + x2 –
8x – 12 = 0 é divisível por (x + 2i);
• Se P(x) é divisível por (x - 2i) e também é divisível por (x + 2i),
então ele será divisível pelo produto (x – 2i) . (x + 2i) = x2 + 4;
• Usando a regra da chave efetue a divisão de P(x) por x2 + 4;
x  2 x  x  8x  12
4
3
2
x  0x  4
2
x2  2 x  3
 x 4  0 x3  4 x 2
 2 x 3  3x 2  8 x
2 x3  0 x 2  8x
 3x 2  0 x  12
3x 2  0 x  12
S = {2i, -2i, 3, -1}
0
• A partir desta divisão percebemos que a forma fatorada de P(x)
pode ser escrita como (x2 + 4) . (x2 – 2x - 3) = 0;
• Portanto, para achar as demais raízes de P(x) basta igualar o
quociente Q(x) encontrado a zero:
x2  2x  3  0
x'  3 e x"  1
Também poderíamos chegar aos mesmos resultados
através do dispositivo de Briot-Ruffini:
1
2
1
8
 12
2i
1
 2  2i
 3  4i
 6i
0
 2i
1
2
3
0
x  2x  3  0
2
x  3 e x"  1
'
demais
raízes
Exercício Resolvido 4:
Os números complexos 1 + i e 1 – 2i são raízes de um
polinômio com coeficientes reais de grau 8. O número
de raízes reais deste polinômio, no máximo, é:
Resolução:
• Se 1 + i é raiz, então 1 – i também é raiz;
• Se 1 – 2i é raiz, então 1 + 2i também é raiz
• Deste modo P(x) terá, no mínimo, 4 raízes complexas, e
portanto, no máximo,
4 raízes reais
Exercício Resolvido 5:
O polinômio x4 + x2 – 2x + 6 = 0 admite 1 + i como raiz,
no qual i2 = -1. O número de raízes reais deste
polinômio é:
Resolução:
• Pelo enunciado sabemos que 1 + i é raiz, e também o seu
conjugado 1 - i;
• P(x) é divisível por [x - (1 + i)] e também é por [(x – (1 - i)],
então ele será divisível pelo produto:
[(x – 1) - i] . [(x – 1) + i] = (x – 1)2 – i2 = x2 – 2x + 2
• Usando a regra da chave efetue a divisão: P(x) por x2 – 2x + 2;
x  2x  2
x  0x  x  2x  6
4
3
2
2
x2  2 x  3
 x 4  2 x3  2 x 2
2 x3  x 2  2 x
 2 x3  4 x 2  4 x
3x 2  6 x  6
 3x 2  6 x  6
Nenhuma raiz real
0
• Portanto, para achar as demais raízes de P(x) basta igualar
o quociente Q(x) encontrado a zero:
x2  2x  3  0
x  1  i 2 e x"  1  i 2
'
Exercício Resolvido 6:
Resolva a equação 3x4 – 8x3 - 5x2 + 36x – 20 = 0,
sabendo que 2 + i é uma de suas raízes.
Resolução:
• Se 2 + i é raiz, então 2 – i também é;
• Aplicando o dispositivo de Briot-Ruffini para baixar o grau da
equação temos:
8
3
2i
3
2i
3
5
 2  3i  12  4i
4
3x  4 x  4  0
2
4
36
 20
8  4i
0
0
2
x  e x"  2
3
'
demais
raízes
8. Teorema das Raízes Racionais
Se uma equação polinomial,
anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x1 + a0 = 0,
de coeficientes inteiros, admitir uma raiz racional e possuir
raiz(es) racional(is), elas estarão no conjunto p/q, tal que p
seja divisor inteiro de a0 e q seja divisor de an, em que p, q são
inteiros, q ≠ 0, p e q primos entre si.
Exercício Resolvido 7:
Encontrar as raízes racionais da equação:
2x4 - 3x3 - 6x2 – 8x – 3 = 0.
Resolução:
Então, temos an = 2, a0 = -3.
Divisores inteiros de a0: (p) = ± 3, ± 1.
Divisores inteiros de an: (q) = ± 2, ± 1.
Portanto, de acordo com o teorema das raízes racionais, as
possíveis raízes da equação são da forma:
p
3 1

  3,  1,  ,  
q
2
2

Agora, basta testar todas elas na equação, ou por substituição
ou pelo dispositivo de Briot-Ruffini.
P(-3) = 210 → -3 não é raiz.
P(3) = 0 → 3 é raiz.
1

2
.....
2
3
6
8
3
2
4
4
6
0
Por verificação conclui-se que apenas 3 e -1/2
são raízes racionais.
-1/2 é raiz.
8. Teorema das Raízes Racionais
OBSERVAÇÕES:

Este teorema não garante a existência de raízes
racionais, mas, no caso de elas existirem, mostra como
obtê-las.

O teorema possibilita a formação de um conjunto de
possíveis raízes racionais obtidas dos divisores de an e a0.
Se nenhum elemento desse conjunto for raiz da equação,
esta não admitirá raízes racionais. Se
an = ±1 e os
demais coeficientes são inteiros, a equação não admite
raízes fracionárias, podendo, entretanto, admitir raízes
inteiras que são divisores de an.

Em toda equação algébrica cuja soma dos coeficientes
for igual a zero, o número 1 será raiz da equação.
Exercício Resolvido 8:
Resolva a equação x3 - 5x2 + 9x – 5 = 0.
Resolução:
• Temos an = 1, a0 = -5.
• Divisores inteiros de a0: (p) = ± 5, ± 1.
• Divisores inteiros de an: (q) = ± 1.
• Portanto, de acordo com o teorema das raízes
racionais, as possíveis raízes da equação são da
forma:
p
  1,  5
q
x2  4x  5  0
• P(1) = 0 → 1 é raiz.
1
1
1
5
4
9
5
5
0
x'  2  i
x"  2  i
Exercício Resolvido 9:
Resolva a equação x6 - 1 = 0, em C.
Resolução:
• Temos: x6 – 1 = (x3 - 1).(x3 + 1)
x2  x 1  0
• 1 é raiz de x3 – 1.
1
0
0
1
1  i 3
x 
2
'
1
1
1
1
0
x" 
x2  x 1  0
• -1 é raiz de x3 + 1.
1
1
1
0
1
0
1
1  i 3
2
1
1 i 3
2
1 i 3
x" 
2
x' 
0
Exercício Resolvido 10:
Resolva, em C, a equação x4 – ax3 – bx2 - ax + 2 = 0, com a
e b números inteiros, sabendo que duas de suas raízes
são números inteiros positivos e consecutivos.
Resolução:
• Divisores inteiros de a0: (p) = ± 2, ± 1.
• Divisores inteiros de an: (q) = ± 1.
• Portanto, de acordo com o teorema das raízes
racionais, as possíveis raízes da equação são da
forma:
p / q   1,  2
• Com base no enunciado, 1 e 2 são raízes.
14  a.13  b.12  a.1  2  0
 2a  b  3
24  a.23  b.22  a.2  2  0
 10a  4b  18
  2a  b  3

 10a  4b  18
a3
b  3
• Agora que sabemos os valores de a e b, temos que a equação
ficou assim:
4
3
2
x  3 x  3x  3 x  2  0
• E sabemos ainda que 1 e 2 são raízes.
1
3
3
3
2
1
1
2
1
2
0
2
1
0
1
0
x2 1  0
x  i e x"  i
'
demais
raízes
Exercício Resolvido 11:
Resolver a equação 2x4 – 5x3 – 2x2 - 4x + 3 = 0.
Resolução:
• p
 {± 3, ± 1} e q  {± 2, ± 1}.
• Portanto:
 3 1

p / q   ,  ,  3,  1
 2 2

• P(3/2) ≠ 0
P(-1/2) ≠ 0
P(-3/2) ≠ 0
P(1/2) = 0
P(3) = 0
P(1) ≠ 0
P(-3) ≠ 0
P(-1) ≠ 0
2
5
2
4
3
1
2
2
4
4
6
0
3
2
2
2
0
2x  2x  2  0
2
1  i 3
1  i 3
x 
e x" 
2
2
'
1
1  i 3 1 i 3 
S   , 3,
,

2
2
2

9. Relações de Girard
É comum possuirmos alguma informação sobre as raízes de
uma equação antes de resolvê-la. Por exemplo: uma raiz é o dobro
da outra; uma raiz é dupla; o produto das raízes é 6; etc.
Quando já são conhecidas certas condições sobre as raízes de
uma equação, podemos utilizar as Relações de Girard, que são
expressões envolvendo somas e produtos das raízes da equação e
seus coeficientes.
Relações de Girard para equações do 2º grau
•
•
•
•
Forma Geral: ax2 + bx + c = 0
Raízes: x1 e x2
Forma fatorada: a.(x – x1).(x – x2) = 0
Desenvolvimento: ax2 – a(x1 + x2)x + ax1x2 = 0
b
c
• Comparação com a forma Geral: - a(x1+ x2) = b e ax1x2 = c
Desta forma temos: x1+ x2 = -b/a
e x1x2 = c/a
As relações de Girard para equações do 2º grau são:
• Soma das raízes:
b
S  x1  x2  
a
• Produto das raízes:
c
P  x1  x2 
a
Relações de Girard para equações do 3º grau
•
•
•
•
Forma Geral: ax3 + bx2 + cx + d = 0
Raízes: x1, x2 e x3
Forma fatorada: a.(x – x1).(x – x2).(x – x3) = 0
Desenvolvimento:
ax3 – a(x1 + x2 + x3)x2 + a(x1x2 + x1x3 + x2x3)x – ax1x2x3 = 0
b
c
d
• Comparação com a forma Geral:
- a(x1+ x2 + x3) = b
e a(x1x2 + x1x3 + x2x3) = c e - ax1x2x3 = d
Desta forma temos:
x1 + x2 + x3 = -b/a , (x1x2 + x1x3 + x2x3) = c/a e x1x2x3 = c/a
As relações de Girard para equações do 3º grau são:
• Soma das raízes:
b
S1  x1  x2  x3  
a
• Soma dos produto das raízes, duas a duas:
c
S 2  x1 x2  x1 x3  x2 x3 
a
• Produto das raízes:
d
P  x1  x2  x3  
a
Relações de Girard para equações do 3º grau
• Forma Geral: ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0
• Raízes: x1, x2, x3 e x4
Repetindo o raciocínio dos casos anteriores temos que as relações
de Girard para equações do 4º grau são: :
b
• Soma das raízes: S1  x1  x2  x3  x4  
a
• Soma dos produto das raízes, duas a duas:
c
S 2  x1 x2  x1 x3  x1 x4  x2 x3  x2 x4  x3 x4 
a
• Soma dos produto das raízes, três a três:
d
S3  x1 x2 x3  x1 x2 x4  x1 x3 x4  x2 x3 x4  
a
• Produto das raízes: P  x1  x2  x3  x4 
e
a
Relações de Girard para equações de grau n
Generalizando:
• Equação: anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0 = 0
• Soma das raízes: S1   an 1
an
• Soma dos produto das raízes, duas a duas:
• Soma dos produto das raízes, três a três:

• Produto das raízes: P   1n 
a0
an
an  2
S2 
an
an3
S3  
an
Exercício Resolvido 12:
Sejam r, s e t as raízes da equação x3 – 4x2 + 6x – 5 = 0.
Calcular o valor de:
a) r + s + t

b
 4
r  st    
4
a
1
b) rs + rt + st
c 6
rs  rt  st    6
a 1
c) rst

d
 5
rst    
5
a
1
d) 1/r + 1/s + 1/t
1 1 1 st  rt  rs 6
  

r s t
rst
5
Exercício Resolvido 13:
Resolva, a equação x3 – 8x2 + 19x – 12 = 0, sabendo que
uma das raízes é igual a soma das outra duas.
Resolução:
• vamos chamar as raízes de x1, x2 e x3
• Das relações de Girard, temos:

b
 8
S1  x1  x2  x3    
8
a
1
x1  x2  x3  8
x1  x1  8
2 x1  8
x1  4
x1  x2  x3
c 19
S 2  x1 x2  x1 x3  x2 x3  
 19
a 1

d
 12 
P  x1  x2  x3    
 12
a
1
Agora que temos uma das raízes, aplicamos o dispositivo de
Briot-Ruffini, baixamos o grau da equação e encontramos as
demais raízes.
4
1
8
19
 12
1
4
3
0
x  4x  3  0
2
x  3 e x"  1
'
demais
raízes
Exercício Resolvido 14:
Sabendo que 2 – 3i é raiz da equação x3 – 6x2 + 21x – 26 =
0, determinar as demais raízes.
Resolução:
• Se 2 – 3i é raiz, então 2 + 3i também é.
• Das relações de Girard, temos:

b
 6
S1  x1  x2  x3    
6
a
1
x1  2  3i   2  3i   6
x1  2  2  6
x1  6  4
x1  2
S  2  3i, 2  3i, 2
Exercício Resolvido 15:
Determinar o conjunto solução da equação 4x3 – 20x2 +
17x – 4 = 0, sabendo que ela admite uma raiz dupla.
Resolução:
• Chamaremos as raízes de: r, r e s
• Das relações de Girard, temos:
rrs 5
17
r r  r r  r s 
4
s  5  2r
r s 1
2
17
2r  rs 
4
2
17
2r  r  5  2r  
4
12r 2  40r  17  0
2
Mas, qual destes
valores?
r r s 1
r1
2
ou r  17
6
Se r = 1/2 então:
1
s  5  2.  5  1  4
4
Se r = 17/6 então:
17
17 15  17
2
s  5  2.  5  

6
3
3
3
Se substituirmos os valores encontrados na 3ª relação (a do
produto das raízes), vamos observar que quando r = 17/6 e s
= - 2/3 a sentença obtida é falsa (não dá certo)
Já quando substituímos r = 1/2 e s = 4, o resultado
encontrado é verdadeiro.
Deste modo, o conjunto solução da equação é:
1 
S   , 4
2 
Exercício Resolvido 16:
Determine o valor de k, para que as raízes da equação
x3 – 3x2 – 6x + k = 0 formem uma progressão aritmética.
Resolução:
• Chamaremos as raízes de: m – r, m, m + r
• Das relações de Girard, temos:

b
 3
x1  x2  x3    
3
a
1
m  r   m  m  r   3
3m  3
m 1
Agora que sabemos que 1 é uma
das raízes, vamos substituir x por 1
e calcular o valor de k
13  3 12  6 1  k  0
1 3  6  k  0
k 8