EQUAÇÃO DO 2º GRAU
Professores: José Junior e
Francisco Braga
8ª Série/9º Ano - EF
SITUAÇÃO 01
A Profesora de Artes quer um painel retangular para a exposição educativa. Ela quer um
painel que tenha 600 cm² de área. Mas, ela quer o painel com 10 cm a mais no comprimento do
que na largura.
RESOLUÇÃO
•
Se representarmos por X a medida da largura da página, seu comprimento será representado por (X +
10).
X
X + 10
•
•
•
•
Sabemos que para determinarmos a área de um retangular devemos multiplicar o comprimento pela
largura:
(X + 10) . X
Como a área tem que ser igual a 600, obtemos:
(X + 10) . X = 600
Desenvolvendo o produto, no 1º membro:
X² + 10X = 600
A equação X² + 10X = 600, é chamada de equação do 2º grau na variável X.
SITUAÇÃO 02
O número de diagonais de um polígono pode ser calculado pela fórmula matemática d =
n( n - 3) ,
2
em que d representa o número de diagonais e n representa o número de lados. Determine a equação
que representa a quantidade de lados desse polígono, sabendo que o número de diagonais é igual ao
número de lados.
RESOLUÇÃO
•
•
Se o número de diagonais (d) é igual ao número de lados (n), podemos escrever:
Substituindo na fórmula, podemos escrever a equação:
n=
n( n - 3)
n ² - 3n
=
2
2
n ² - 3n
n=
2
2n = n ² - 3n
•
A equação 2n = n² - 3n é chamada de equação do 2º grau na variável n.
d = n .
EQUAÇÃO DO 2º GRAU COM UMA
INCÓGNITA
1) DEFINIÇÃO
• Chama-se de equação do 2º grau com uma incógnita, toda
equação que assume a forma:
ax² + bx + c = 0.
Onde:
 x é a incógnita.
 a, b e c são números reais, com a ≠ 0.
 a é coeficiente do termo em x².
 b é coeficiente do termo em x.
 c é o coeficiente do termo independente de x.
Exemplos:
a) 3x² + 4x + 1 = 0
a=3
b=4
b) p² - 5p + 6 = 0
a=1
b = -5
c) -5t² + 7t – 2 = 0
a = -5
b=7
d) 2y² - 10y = 0
a = 2 b = -10
e) 4z² - 100 = 0
a=4
b=0
f) 7m² = 0
a=7
b=0
(incógnita x)
c = 1 (Equação completa)
(incógnita p)
c = 6 (Equação completa)
(incógnita t)
c = -2 (Equação completa)
(incógnita y)
c = 0 (Equação incompleta)
(incógnita z)
c = -100 (Equação incompleta)
(incógnita m)
c = 0 (Equação incompleta)
FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
• Uma equação do 2º grau, com uma incógnita, está na
forma normal ou reduzida quando assume a forma geral
ax² + bx + c = 0,
com a ≠ 0.
•
a)
b)
c)
d)
Exemplos:
x² - 7x + 10 = 0
y² - 81 = 0
-2t² + 5t – 2 = 0
-6m² + m = 0
FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
• Vejamos alguns exemplos de equações do 2º grau, com uma
incógnita, que serão representadas na forma reduzida aplicando os
princípios aditivo e multiplicativo das equações.
a) x² - 16 = 48
x² - 16 – 48 = 0
- Aplicando o princípio aditivo.
x² - 64 = 0
- Forma reduzida.
b) y² + 2y = 3y + 1
y² + 2y – 3y – 1 = 0
y² - y – 1 = 0
y² - y – 1 = 0
- Aplicando o princípio aditivo.
- Reduzindo os termos semelhantes.
- Forma reduzida.
FORMA NORMAL OU REDUZIDA DA
EQUAÇÃO DO 2º GRAU
c) (3m + 1)² = 7 – (m + 8)(m – 3)
9m² + 6m + 1 = 7 – m² - 5m + 24
9m² + m² + 6m + 5m + 1 – 7 – 24 = 0
10m² + 11m – 30 = 0
d)
x
1
2
+ =
x- 4 2
x
2 x.x + x.( x - 4) 2.2( x - 4)
=
2 x ( x - 4)
2 x( x - 4)
2 x ² + x ² - 4 x = 4 x - 16
2 x ² + x ² - 4 x - 4 x + 16 = 0
3 x ² - 8 x + 16 = 0
- Eliminando os parênteses.
- Aplicando o princípio aditivo.
- Forma reduzida.
- Reduzindo ao mesmo denominador.
- Aplicando o princípio aditivo.
- Forma reduzida.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º
GRAU
1º CASO:
a)




Equação do tipo ax² + bx = 0.
O quadrado de um número real positivo é igual ao seu quíntuplo.
Determine esse número.
RESOLUÇÃO
Representando o número procurado por x obtemos a equação:
x² = 5x
x² - 5x = 0
- Forma reduzida.
x.(x – 5) = 0
- Fator comum em evidência.
Para que o produto entre dois números reais seja igual a zero um desses dois
números precisa ser zero. Logo:
x=0
- Uma raiz da equação.
ou
x–5=0
x=5
- Outra raiz da equação.
As raízes da equação são 0 e 5.
Resposta: Como o problema nos pede um número real positivo, concluímos
que o número procurado é o 5.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º
GRAU
b) Determine os números reais que satisfazem a equação: 3m² - 21m = 0.
RESOLUÇÃO
3m² - 21m = 0
m.(3m – 21) = 0
m=0
ou
3m – 21= 0
m=7
- Fator comum em evidência.
- Uma raiz da equação.
- Outra raiz da equação.
As raízes da equação são 0 e 7.
Resposta: Os números procurados são 0 e 7.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º
GRAU
2º CASO:
Equação do tipo ax² + c = 0.
a) Do quadrado de um número real subtraí 2 e obtive 34. Qual é
esse número?
RESOLUÇÃO
Representando o número procurado por x, obtemos a equação:
x² - 2 = 34
x² - 2 – 34 = 0
x² - 36 = 0
x² = 36
x = + 36 = +6 , pois (+ 36 )² = 36
x = - 36 = - 6 , pois (- 36 )² = 36
x=±6
As raízes da equação são -6 e 6.
Resposta: O número real procurado é -6 ou 6.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º
GRAU
b) Quais os valores reais de x que satisfazem a proporção:
x
3
=
15
x
?
RESOLUÇÃO
x² = 45
x = - 45
ou
x=+
x=- 3 5
ou
x=+ 3 5
- Propriedade fundamental das proporções.
45
x=± 3 5
As raízes da equação são - 3 5 e + 3 5
RESPOSTA: Os valores de x procurados são - 3 5 e + 3 5 .
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES INCOMPLETAS DO 2º
GRAU
c) Existem números reais que satisfazem a equação m² + 9 = 0 ?
RESOLUÇÃO
m² + 9 = 0
m² = - 9
m=- - 9
ou
m=+ - 9
Temos que: - 9 não representa um número real.
RESPOSTA: Não existem números reais que satisfaçam tal
equação.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º
GRAU
• Seja a equação do 2º grau na forma normal:
ax² + bx + c = 0, com a≠0.
• Para determinarmos as raízes dessa equação, caso existam,
utilizaremos a fórmula resolutiva de Bhaskara:
x
b 
b²  4.a.c
2.a
• Onde: b² - 4.a.c , é chamado de discriminante da equação e
representado pela letra grega delta (  ). Assim:
x 
b 

2.a
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º
GRAU
• Se   0 (positivo), a equação do 2º grau terá
duas raízes reais e diferentes : x’ ≠ x”.
• Se   0 (nulo), a equação terá duas raízes reais e
iguais: x’ = x”.
• Se   0 (negativo) , a equação não terá raízes
reais: x '   e x "   .
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º
GRAU
a) Determine as raízes reais da equação: x² - 5x + 4 = 0.
- Temos que: a=1, b=-5 e c=4.
- Calculando o discriminante da equação, obtemos:
  b²  4.a.c  ( 5)²  4.1.4  25  16
9
-
Substituindo os valores na fórmula resolutiva de Bhaskara:
b 

( 5) 

2.a
2.1
53
8


 4
2
2
53
2


1
2
2
x 
x1
x2
-
9

53
2
A equação tem duas raízes reais e diferentes que são 1 e 4.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º
GRAU
b) Determine as raízes reais da equação: 3p² + 6p + 3 = 0.
- Calculando o discriminante, obtemos:
  6²  4.3.3  36  36
0
- Utilizando a fórmula resolutiva de Bhaskara:
6 
0
6  0

2.3
6
6

 1
6
6

 1
6
p 
p1
p2
- A equação tem raízes reais e iguais. A raiz é -1.
RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES COMPLETAS DO 2º
GRAU
c) Determine as raízes reais da equação: 4y² - 2y + 1 = 0.
- Calculando o discriminante da equação:
  ( 2)²  4.4.1  4  16
  12
- Aplicando na fórmula de Bhaskara, obtemos:
y
( 2)  12
2.4
- Observe que no Conjunto dos Números Reais não existe raiz de
índice par de radicando negativo.
- Logo, a equação não tem raízes reais.