O que você deve saber sobre
POLINÔMIOS
As funções afins e quadráticas são exemplos de polinômios cujos
graus são 1 e 2, respectivamente. Funções de grau maior,
expandindo-se o domínio ao campo dos números complexos,
ampliam as possibilidades do uso dessa ferramenta na modelagem
de situações cotidianas.
I. Definição e nomenclatura
• Polinômio ou função polinomial: soma de dois ou mais
monômios (formados pelo produto entre números e letras).
Forma geral de um polinômio:
onde an, an-1, an-2, ..., a1 e a0 são coeficientes complexos, n o
expoente (natural) e x a variável complexa.
• Termos do polinômio: os monômios anxn, an-1xn-1, an-2xn-2, ...,
a2x2, a1x e a0, sendo a0 o termo independente, pois não multiplica
variável alguma;
• Grau do polinômio: o maior expoente da variável entre os
termos não nulos que o compõem. Se o grau de um polinômio P(x)
é n, indica-se gr(P) = n, no caso de an ≠ 0.
POLINÔMIOS
II. Valor numérico e raiz de um polinômio
Valor obtido quando se substitui a variável por um número
complexo e efetuam-se todas as operações estabelecidas.
Quando o número complexo  é tal que P() = 0,  é chamado
raiz do polinômio P(x).
POLINÔMIOS
III. Operações entre polinômios
a) Polinômios idênticos: seus respectivos valores numéricos
para um mesmo x =  (

) são iguais.
Consequência: os coeficientes dos termos de mesmo grau
de cada um dos polinômios são iguais.
b) Adição e subtração: efetua-se a operação desejada entre
os termos semelhantes (de mesmo grau), ou seja, conserva-se
a parte literal desses termos e operam-se os respectivos coeficientes.
POLINÔMIOS
III. Operações entre polinômios
c) Multiplicação: multiplica-se cada termo de um polinômio
por todos os termos do outro. Por fim, reduzem-se os termos
semelhantes (de mesmo grau).
d) Potência: forma abreviada de escrever o produto
do mesmo polinômio n vezes. Denota-se por P(x)n, ou seja:
POLINÔMIOS
III. Operações entre polinômios
e) Divisão: determina dois polinômios: Q(x), o quociente, e R(x),
o resto, a partir dos polinômios P(x), o dividendo, e D(x), o divisor.
Para isso, devem satisfazer à seguinte condição:
Além disso, seus graus devem ser tais que:
• gr(P)  gr(D);
• gr(R) < gr(D) ou gr(R) = 0.
POLINÔMIOS
III. Operações entre polinômios
Divisão, a partir do método da chave, dos polinômios
P(x) = 8x3 + 6x2 + 3 (dividendo) e D(x) = 4x2 + x (divisor):
• Quociente: Q (x) = 2x+1
• Resto: R (x) = - x + 3
POLINÔMIOS
III. Operações entre polinômios
• Dispositivo prático de Briot-Ruffini: método utilizado apenas
quando o divisor for um binômio do tipo (x  a).
Aplicação na divisão dos polinômios P(x) = x2 + 1 e D(x) = x  2
• O último número na linha dos resultados é o resto.
• Os demais correspondem aos coeficientes do polinômio
quociente, cujo grau é uma unidade menor que a do dividendo.
Portanto:
POLINÔMIOS
IV. Equações polinomiais ou algébricas
 São todas as equações redutíveis à forma:
onde an, an-1, an-2, ..., a1 e a0 são coeficientes complexos, n é o
expoente (natural não nulo), e x, a incógnita complexa.
 Resolução: basta determinar as raízes de um polinômio
equivalente ao primeiro membro da equação.
 Conjunto-solução: o conjunto de todas as suas raízes
POLINÔMIOS
V. Teoremas e consequências
a) Teorema do resto
Para um polinômio P(x), com gr(P)  1, o resto de sua divisão
por (x  a) é dado por P(a).
b) Teorema de D’Alembert
Se o polinômio P(x) for divisível por D(x), ou seja, se o resto da
divisão entre ambos for nulo, o valor a é raiz de P(x), ou seja,
P(a) = 0.
c) Teorema fundamental da álgebra
Toda equação algébrica P(x) = 0, de grau n (n  1), tem pelo menos
uma raiz complexa.
POLINÔMIOS
V. Teoremas e consequências
d) Teorema da decomposição
Como consequência, todo polinômio
P(x) = anxn + an-1xn - 1 + an
- 2x
n-2
+ ... + a2x2 + a1x + a0, de grau n,
na variável complexa x, pode ser expresso por:
sendo an o coeficiente dominante (termo de maior grau),
e 1, 2, ..., n - 1, n as raízes do polinômio.
Todo polinômio de grau n, n  1 tem n raízes complexas, mas não
necessariamente distintas, pois eventualmente um polinômio de grau
n > 1 pode ter raízes múltiplas.
POLINÔMIOS
VI. Multiplicidade de uma raiz
 Quantidade de vezes que a raiz aparece quando se escreve a
equação ou o polinômio na sua forma decomposta.
 É sempre menor que o grau do polinômio ou equação ou igual
a ele.
POLINÔMIOS
VII. Raízes complexas não reais
Se um número complexo z = a + bi, com b ≠ 0, for raiz
de uma equação polinomial com coeficientes reais, então seu
conjugado z = a - bi também será raiz do polinômio. Além disso,
se o complexo z tem multiplicidade m, seu conjugado terá
a mesma multiplicidade.
POLINÔMIOS
VIII. Relações de Girard
São relações entre as raízes e os coeficientes de uma equação
polinomial utilizadas para auxiliar na sua resolução.
a) Relações entre os coeficientes
e as raízes de uma equação do 2o
grau: ax2 + bx + c = 0,
com raízes 1 e 2
b) Relações entre os coeficientes
e as raízes de uma equação do
3o grau: ax3 + bx2 + cx + d = 0,
com raízes 1, 2 e 3
POLINÔMIOS
VIII. Relações de Girard
c) Relações entre os coeficientes e raízes de uma equação
de grau n:
anxn + an - 1xn - 1 + an - 2xn - 2 + ... + a2x2 + a1x+ a0 = 0,
com raízes 1, 2, ... , n1 e n
POLINÔMIOS
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
(Ufla-MG)
Determine o polinômio de quarto grau, cujo esboço do gráfico é:
RESPOSTA:
POLINÔMIOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
3
(Cefet-MG)
Uma fábrica utiliza dois tanques para armazenar combustível, sendo seus níveis expressos, respectivamente, por:
H1(t) = 250t3 - 190t + 10
H2(t) = 150t3 + 210t + 10, sendo t o tempo, em horas.
O nível de combustível deles se iguala em t = 0 e também para:
a) t = 1,0.
b) t = 1,5.
c) t = 2,0.
d) t = 2,5.
RESPOSTA: C
POLINÔMIOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
4
(UEL-PR)
Considere as funções polinomiais dadas por p(x) = x3 - 4x2 + 7x - 3
e q(x) = -6x - 3. Os números complexos na forma z = a + bi, que
satisfazem a equação p(z) = q(z), são:
a) z = 0, z = 3 + 2i e z = 3 - 2i.
b) z = 0, z = 2 + 3i e z = 2 - 3i.
c) z = 0, z = -2 + 3i e z = -2 - 3i.
d) z = 0, z = 3 + 2i e z = 2 + 2i.
e) z = 0, z = 3 + 3i e z = 3 - 3i.
RESPOSTA: B
POLINÔMIOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
9
(UFMG)
O gráfico da função p(x) = x3 + (a + 3)x2 - 5x + b contém os
pontos (-1, 0) e (2, 0). Assim sendo, o valor de p(0) é:
a) 1.
b) –6.
c) –1.
d) 6.
RESPOSTA: B
POLINÔMIOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
12
(UFPR)
Abaixo estão representados os gráficos das funções f e g.
y = g(x)
y = f(x)
Sobre esses gráficos, considere as seguintes afirmativas:
1. A equação f(x) . g(x) = 0 possui quatro soluções no intervalo fechado
[-10, 10].
2. A função y = f(x) . g(x) assume apenas valores positivos no intervalo
aberto (0, 3).
3. f(g(0)) = g(f(0)).
4. No intervalo fechado [3, 10], a função f é decrescente e a função g é
crescente.
Assinale a alternativa correta.
POLINÔMIOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
12
a) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
b) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 3 e 4 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 1, 2 e 4 são verdadeiras.
e) Somente as afirmativas 1, 3 e 4 são verdadeiras.
RESPOSTA: A
POLINÔMIOS  NO VESTIBULAR
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
13
(ITA-SP)
Considere as funções f(x) = x4 + 2x3 - 2x - 1 e g(x) = x2 - 2x + 1.
A multiplicidade das raízes não reais da função composta f
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
RESPOSTA: C
POLINÔMIOS  NO VESTIBULAR
 g é igual a:
EXERCÍCIOS ESSENCIAIS
1
18
(ITA-SP)
Seja Q(z) um polinômio do quinto grau, definido sobre o conjunto dos números complexos, cujo coeficiente de z5 é igual a 1.
Sendo z3 + z2 + z + 1 um fator de Q(z), Q(0) = 2 e Q(1) = 8, então, podemos afirmar que a soma dos quadrados dos módulos
das raízes de Q(z) é igual a:
a) 9.
b) 7.
c) 5.
d) 3.
e) 1.
RESPOSTA: B
POLINÔMIOS  NO VESTIBULAR