Princípio da contagem e
Probabilidade: conceito
1) No lançamento simultâneo de dois
dados, um branco e um vermelho, vamos
determinar:
a) espaço amostral.
É o conjunto formado por todos os resultados
possíveis.
Os eventos:
É o subconjunto do espaço amostral.
b) evento A: “sair o mesmo número em
ambos os dados”.
c) evento B: “sair soma 7”.
d) evento C: “sair soma menor que 5”.
e) evento D: “sair soma maior que 12”.
característica do que é provável
• perspectiva favorável de que algo venha a
ocorrer; possibilidade, chance.
Ex.: há pouca possibilidade de chuva
• grau de segurança com que se pode esperar
a realização de um evento, determinado pela
freqüência relativa dos eventos do mesmo
tipo numa série de tentativas.
• número positivo entre zero e um, associado a
um evento aleatório, que se mede pela
freqüência relativa da sua ocorrência numa
longa sucessão de eventos.
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
Espaço Amostral 6 x 6 = 36.
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
Evento A: n(A) = 6 possibilidades .
Evento B: n(B) = 6 possibilidades .
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
Evento C: n(C) = 5 possibilidades .
Evento D: n(D) = 0 possibilidades .
2) No lançamento simultâneo de uma
moeda
e
um
dado,
determine:
a) o espaço amostral;
b) o evento A: “ocorrência de cara e um
número par”
c) o evento B: “ocorrência de coroa e
múltiplo de 3”
d) o evento C: “ocorrência de coroa e
um número ímpar”
Espaço amostral
(C,1)
C
(C,2)
(K,1)
K
(K,2)
(C,3)
(K,3)
(C,4)
(K,4)
(C,5)
(K,5)
(C,6)
(K,5)
Espaço Amostral 2 x 6 = 12
possibilidades.
“ocorrência de cara e um número par”
C
(C,2)
(C,4)
Subconjunto do espaço
amostral: Evento A
A = {(C,2),(C,4),(C,6)}
“ocorrência de coroa e múltiplo de 3”
K
(K,3)
Subconjunto do espaço
amostral: Evento B
B = {(K,3),(K,6)}
(C,6)
(K,6)
Evento A: 1 x 3 = 3 possibilidades.
Evento B: 1 x 2 = 2 possibilidades.
“ocorrência de coroa e um número ímpar”
(K,1)
K
(K,3)
Subconjunto do espaço
amostral: Evento C
C = {(K,1),(K,3),(K,5)}
Probabilidade: cálculo
(K,5)
Evento C: 1 x 3 = 3 possibilidades.
Na teoria da Probabilidade quantificamos a chance
de ocorrência de determinado acontecimento. Uma
das primeiras publicações em que se falou em
probabilidade matemática tratava de jogos de azar:
um folheto intitulado Sobre o raciocínio em jogos
de dados, em 1657. Um francês, conhecido como
Chevalier de Merê, teria ganhado dinheiro
apostando que, em quatro lançamentos de dado,
pelo menos uma vez ocorre o resultado “seis
pontos”. Os jogos forneceram boas questões e
discussões, que propiciaram o desenvolvimento
dessa teoria. A Estatística, importantíssima nos
mais diversos ramos de atividade, apoia-se
fortemente na Teoria da Probabilidade.
3) No lançamento de um dado perfeito, qual
é a probabilidade de sair número maior do
que 4?
Espaço amostral U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Ao tomar uma decisão baseada em resultados
de uma amostra(espaço amostral), é por meio
da Teoria da Probabilidade que se estabelece,
por exemplo, o risco da decisão tomada.
Quando num dado fenômeno(ou experimento)
aleatório, com espaço amostral finito,
considerando que o evento elementar tem a
mesma “chance” de ocorrer, a probabilidade de
ocorrer um evento A, indicada por p(A), é um
número que mede essa chance e é dado por:
4) No lançamento simultâneo de 3 moedas
perfeitas distinguíveis, qual é a probabilidade
de serem obtidas: Espaço amostral (U)
C (C, C, C)
C
n(U) = 6 possibilidades.
Evento A = {5, 6}
n(A) = 2 possibilidades(chances)
K (C, C, K)
C
C (C, K, C)
K
K
C
C (K, C, C)
K (K, C, K)
K
C (K, K, C)
K (K, K, K)
K (C, K, K)
n(U): 8
a) pelo menos duas caras?
Evento A {(C,C,C),(C,C,K),(C,K,C),(K,C,C)}
=
n( A) = 4
a) exatamente duas caras?
Evento B = {(C,C,K),(C,K,C),(K,C,C)}
n( B) = 4
5) Num grupo de 75 jovens, 16 gostam de
música, esporte e leitura; 24 gostam de
música e esporte; 30 gostam de música e
leitura; 22 gostam de esporte e leitura; 6
gostam somente de música; 9 gostam
somente de esporte; e 5 jovens gostam
somente de leitura. Qual a probabilidade
de, ao apontar, ao acaso, um desses
jovens:
Espaço amostral (U) = 75 jovens
Representação por diagrama
Música (A)
6
Esporte (B)
Evento A =16 + 14 + 6 + 8 = 44
9
8
16
14
a) ele gostar de música?
6
5
11
b) ele não gostar de nenhuma dessas
atividades?
Evento B = 75 – (5+9++6+6+14+8+16) = 75 – 64 = 11
Leitura (C)
75 – (5+9++6+6+14+8+16) = 75 – 64 = 11
(não gostam de nenhuma atividade)
Informações técnicas
a) Princípio fundamental da contagem: Sejam
A e B dois conjuntos disjuntos e não vazios. Se
para a escolha de um elemento de A existem
m possibilidades e para a escolha de um
elemento de B existem k possibilidades, então
para a escolha, nessa ordem, de um elemento
de A e de um elemento de B existem m · k
possibilidades.
b) A probabilidade de ocorrência de um
evento A, com n(A) amostras, em um espaço
amostral E, com n(E) amostras igualmente
prováveis, é dada por:
c) A probabilidade de ocorrência, numa certa
ordem, de dois eventos A e B é dada por:
d) Dois eventos A e B são independentes
quando
Nesse caso:
Na sua produção, cada um dos pássaros
deveria ser pintado com uma cor diferente,
escolhida entre as seguintes: verde, amarelo,
laranja, azul-claro, azul-escuro. Havia quantas
opções diferentes de pintura desses pássaros,
para a escolha do logotipo final?
a) 20
b) 32
c) 60
d) 120
e) 720
7) A tabela mostra quantos minutos por hora
os três refrigeradores R1, R2 e R3 de uma
cozinha industrial permanecem com o motor
funcionando.
Admitindo-se a total independência dos
eventos (o que equivale a dizer que o
funcionamento de um motor não interferirá no
funcionamento dos outros), a probabilidade de
os motores dos três refrigeradores, em um
instante qualquer, estarem funcionando é igual
a:
6) O logotipo dos jogos Pan-Americanos de
2007 é formado por 5 pássaros, cujas formas
fazem lembrar paisagens da cidade do Rio de
Janeiro.
1
2
3
5
4
a) 20
b) 32
c) 60
d) 120
e) 720
Para a escolha da cor do 1º
pássaro, temos 5 possibilidades;
para a do 2º, 4; para a do 3º, 3;
para a do 4º, 2; e para a do 5º,
apenas uma possibilidade. Pelo
Princípio
Fundamental da
Contagem, temos:
Resolução
1 hora tem 60 minutos (espaço amostral)
n(R1) = 20
n(R2) = 30
n(R3) = 12
Como os eventos são independentes, a
probabilidade pedida é
Alternativa “A”
8) Numa sala de aula de um curso noturno,
a distribuição das idades dos alunos é dada
pelo gráfico seguinte.
Escolhido um aluno ao acaso, a probabilidade de sua idade ser no máximo 18 anos é:
Resolução
4 + 5 + 3 + 1 + 2 + 5 = 20
(Espaço amostral)
Evento A = 4 + 5 + 3 = 12
Escolhido um aluno ao acaso, a probabilidade
de sua idade ser no máximo 18 anos é:
9) Observe a figura a seguir:
O número de caminhos diferentes que nos
levam de X até Z é igual a:
Alternativa “C”
Resolução
Observando os percursos
possíveis, temos:
XY e YZ = 1 x 3 = 3
OU
XA e AZ = 2 x 1 = 2
OU
XA e AY e YZ = 2 x 3 x 3 = 18
OU
XA e AY e YB e BZ = 2 x 3 x 2 x 2 = 24
OU
XY e YB e BZ = 1 x 2 x 2 = 4
SOMA: 3 + 2 + 18 + 24 + 4 = 51
ALTERNATIVA
“E”