CAPÍTULO 5 - Intervalo de confiança
5.1 Introdução
5.2 Margem de erro (ME)
5.3 Exemplo com a distribuição normal padronizada Z usando os dados de
reclamações no capítulo 2, tabela 2.2 e figuras 2.2 e 2.3.
5.4 Tamanho da amostra para variáveis mensuráveis
5.5 Exemplo com distribuição t de Gosset usando os dados de reclamações
no capítulo 2, tabela 2.2 e figura 2.2
5.6 Exemplo do conteúdo das latas de cerveja da introdução do capítulo
5.7 Intervalo de confiança para atributos: a distribuição binomial
5.8 Exemplo eleitoral - intervalo de confiança
5.9 Tamanho da amostra para atributos
5.10 As desvantagens do censo universal e as vantagens de pesquisas
amostrais
5.11 Exercícios
5.12 Referências.
1
5.1 Introdução
• O conceito de intervalo de confiança é diretamente
relacionado com a exatidão da média amostral como
representação da média da população μ.
• A média amostral é uma estatística, estimada de uma
amostra com o número de elementos muito menor que a
população e, necessariamente existe certo grau de
incerteza.
• A média da população é um parâmetro existente, mas por
causa de alguma razão, por exemplo, o alto custo de
examinar todos os elementos da população, o seu valor
não é conhecido. O cálculo do intervalo de confiança é
um método para quantificar o nível de incerteza envolvido
na amostragem.
2
Exemplo
• Na cervejaria, um lote de produção de cerveja em lata
tem 100.000 unidades, e o conteúdo nominal da lata é
350 ml. Para verificar se o valor de 350 ml prossegue,
uma vez por semana uma amostra de 1000 latas é
inspecionada e a média amostral calculada.
• Não é para esperar que a média amostral das latas seja
exatamente igual ao parâmetro populacional, mas
podemos esperar sim um intervalo de confiança ao redor
da média amostral que contenha a média da população
com certa probabilidade (confiança).
• A informação sobre a média das latas e os limites de
confiança com a respectiva probabilidade é suficiente
para o gerente julgar se o lote está dentro dos conformes
ou não.
3
5.2 Margem de erro (ME)
ESTATÍSTICA
(estimada)
MÉDIA
AMOSTRAL
PARÂMETRO
(real, mas
desconhecido)
MÉDIA
POPULACIONAL
≤
MARGEM
DE ERRO
(ME)
O valor da margem de erro pode ser escolhido
pelo pesquisador, mas como vai ficar claro
embaixo, não sem decisões difíceis sobre gastos
em tempo e recursos.
A margem de erro depende rigorosamente de
dois aspectos, o tamanho da amostra e a
confiança que é desejada na busca da
representatividade da estatística.
4
Figura 5.1 – Para determinado valor de margem de
erro, a relação entre a variabilidade, o tamanho da
amostra e o nível de confiança.
Nível de confiança
Amostras grandes
A
Amostras pequenas
B
C
Variabilidade
5
A margem de erro é a peça chave no cálculo do intervalo de
confiança. No meio do intervalo de confiança fica a média
amostral.
Limite inferiordo intervalode confiança


X

ME


X
 Limitesuperiordo intervalode confiança


X  ME


A distância entre a média e o limite do
intervalo de confiança é exatamente
igual à margem de erro.
6
A expressão
Z
2
S
n
é a margem de erro (ME) para determinado nível de confiança (1 – α).
S
X LS  X  ME  X  Z 
2
n
S
X LI  X  ME  X  Z 
2
n
S
S

IC(  , 1   )   X  Z 
; X  Z
2
2
n
n
S
S 

P X  Z 
   X  Z
  1 
2
2
n
n

7
5.3 Exemplo com a distribuição normal
padronizada usando os dados de
reclamações no capítulo 2, tabela 2.2 e
figuras 2.2 e 2.3.
IC(  ,1   )   X  Z 
S
; X  Z
S

2
n
n
IC(  ; 0,90)  182,89  28,44; 182,89  28,44  154,45; 211,33
2
Existe uma probabilidade de 90% que a
média populacional fica entre 154,45 e
211,33 minutos.
8
Figure 5.3 - Para margem de erro igual a 28,44,
a relação entre a variabilidade, o tamanho da
amostra e o nível de confiança no exemplo das
reclamações.
As três linhas
representam três
tamanhos de amostras
diferentes: a linha mais
baixa representa uma
amostra pequena de 10
elementos enquanto as
demais linhas
representam amostras de
tamanho 30 e 50
elementos
respectivamente.
A figura 5.3 é uma repetição prática da figura 5.1, uma representação teórica, com
dados observados baseada no exemplo das reclamações. Na figura, a margem de
erro é fixa em 28,44 minutos.
9
5.4 Tamanho da amostra para
variáveis mensuráveis
Margem de erro =
Z
S
2
n


S


n   Z *
 2 M arg em de erro 
 Z 
2 
n
 MEP 


2
2
MEP = Margem de erro
padronizada
10
Exemplo
No exemplo anterior, foi utilizado um valor de
Z
2
= 1,64 denotando um nível de confiança de 90% e
exigindo uma amostra de tamanho 30. Se o pesquisador for mudar
a confiabilidade desejada do intervalo de confiança para um
nível de confiança de 95%, o valor se torna 1,96 e aplicando a
formula
2




1,96
n
  43
28
,
44

94,99 

O tamanho da amostra fica em 43 unidades, confirmando que
níveis de confiança mais altos exigem amostras maiores.
11
Tamanho da amostra
Figure 5.4 – Tamanho da amostra (n = 1 a 900),
margem de erro padronizada (MEP = 0,0 a 0,6)
e níveis de confiança (1- α = 90% a 99,73%)
901
801
701
601
501
n 90%
n 95%
n 99%
401
301
201
101
1
n 99,73%
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
MEP
Quando MEP aproxima-se ao valor 1,0 (margem de erro e desvio padrão iguais)
o tamanho da amostra é pequena, e quando o desvio padrão aumenta em
relação a ME, MEP diminuindo, surge a necessidade de obter amostras cada
vez maiores.
12
Tabela 5.1 – O efeito do tamanho da população
no cálculo do tamanho da amostra.
 Z 
2 
n
 MEP 


2
Nn
naj 
N  n 1
n = 20
n = 50
n = 150
N
naj
naj
naj
100
16,8
33,56
???
250
18,6
41,81
93,98
500
19,3
45,54
115,56
1.000
19,6
47,66
130,55
3.000
19,9
49,20
142,90
5.000
19,9
49,51
145,66
7.000
19,9
49,65
146,87
9.000
20,0
49,73
147,56
11.000
20,0
49,78
148,00
13.000
20,0
49,81
148,30
15.000
20,0
49,84
148,52
13
5.5 Exemplo com distribuição t de Gosset
usando os dados de reclamações no capítulo
2, tabela 2.2 e figura 2.2
IC(  ,1   )   X  t , n1
S
S

; X  t ,n1
2
2
n
n
94,99
94,99 

IC(  ; 0,90)  182,89  1,70*
; 182,89  1,70*
  153,47; 212,37
30
30 

Usando a distribuição t, reconhecendo
que a amostra de trinta elementos é
pequena e não tão representativa da
população obriga um afastamento dos
limites de confiança para manter o
mesmo nível de confiança de 90%.
14
5.6 Exemplo do conteúdo das latas de cerveja
da introdução do capítulo
A amostra de latas a ser mensurada tem apenas 1000 unidades, muito menos que o
tamanho do lote que é 100.000 unidades. Para responder a essa questão, vamos
calcular o intervalo de confiança. Os resultados da amostra são:
X  350, 4 ml
S  3, 07
n 1000
A média da amostra ficou em 350,4 ml, acima do valor nominal de 350, satisfazendo
aparentemente as normas de qualidade da fábrica. Mas o valor da amostra de 350,4
representa o valor do lote? O intervalo de confiança para o nível de confiança de 99%
fica em
3,07
3,07 

IC(; 0,99)   350, 4  2,576*
; 350, 4  2,576*
   350,15; 350,65
1000
1000 

O gerente pode ter 99% de confiança de que o valor do lote fica entre
350,15 e 350,65 ml. Todo o intervalo está acima do valor nominal
garantindo o conteúdo da lata de cerveja, e a empresa com muita
tradição no mercado sente orgulho frente aos clientes.
15
5.7 Intervalos de confiança para atributos: a
distribuição binomial
• O intervalo de confiança montado na base da distribuição binomial é
utilizado no dia a dia das campanhas políticas e publicitárias.
• Em épocas eleitorais o eleitor cansa de ver e escutar notícias sobre as
últimas pesquisas de opinião sobre qual candidato está na frente da corrida
para algum cargo no governo, ás vezes até mesmo meses antes das eleições.
• O noticiário divulga percentagens de aceitação e rejeição entre candidatos
(44% favorecia um candidato e 56% o outro, por exemplo) em amostras de
eleitores de tamanho 1000, 2000 ou 3000, e sempre comenta a margem de
erro das pesquisas em torno de 2 ou 3 por cento de cada lado.
• As conclusões em termos de percentagens vêm da utilização
da distribuição binomial, e o cálculo dos limites de confiança e
margens de erro.
16
5.8 Exemplo eleitoral - intervalo de confiança
Em pesquisa eleitoral levantada um mês antes das eleições, com amostra de
tamanho 1000, candidato BO recebe 51% das intenções de voto.
Trabalhando com nível de confiança de 95%, podemos calcular o intervalo de
confiança:

p 1  p 
p 1  p  

IC(p,1  )   p  Z
; p  Z

2
2
n
n 



0,51*0, 49
0,51*0, 49
IC(p; 0,95)   0,51  1,96
; 0,51  1,96
1000
1000


   0, 479; 0,541) 

A margem de erro fica em aproximadamente 3%. A percentagem de
preferência eleitoral pelo candidato é 51%, suficiente para ganhar a
eleição, mas considerando que a média da população pode ficar entre
48% e 54%, existe um espaço no intervalo menos que 50% abrindo a
possibilidade de derrota. Para diminuir a margem de erro há duas
alternativas, ou diminuir o nível de confiança ou aumentar o tamanho da
amostra.
17
5.9 Tamanho da amostra para atributos
Margem de erro (ME) =
Z
2
p(1  p)
n
2  p (1  p )

n   Z 
 2  ( ME) 2
O pesquisador, no entanto não ficou satisfeito com a margem de erro anterior
(0,03) achando a (ME) grande e imprecisa e conseqüentemente argumentou que
a eleição tão disputada com resultado tão acirrado merecia maior esforço na
coleta da amostragem para que a margem de erro fosse apenas 0,01. Então
fazendo as substituições apropriadas, temos:
n  1,962
(0,51)(0,49)
 9600,16
2
(0,01)
18
Continuação
Infelizmente para o pesquisador buscando resultados mais precisos,
uma amostra de tamanho quase 10.000 foi considerado grande
demais pelo candidato em termos de tempo e recursos exigidos para
seu levantamento e, portanto foi definido como adequada uma
margem de erro intermediária de 2%. Com isso então novo tamanho
de amostra foi calculado em 2400. Assim, as pesquisas prosseguiram.
Este tamanho da amostra em 2400 é um número tradicional e
universalmente utilizado para pesquisas eleitorais e empresariais.
Na prática, a fórmula sofre uma simplificação que facilita o uso para
margem de erro de 2% arredondando Zα/2 para 2,00 e p para 0,50
resultando em
n = 2,02*(0,25)/0,022 = 1/0,0004 = 2500
A pequena diferença de 2400 para 2500 satisfaz o conservadorismo
do estatístico errando para valores maiores e, portanto mais seguros.
19
5.10 As desvantagens do censo universal e as
vantagens de pesquisas amostrais
Nível de
confiança (1-α)
0,8
0,9
0,95
0,954
0,99
0,995
0,9973
Zα/2
1,282
1,645
1,960
2,000
2,576
2,807
3,000
0,005
16424
27055
38415
40000
66349
78794
89999
0,01
4106
6764
9604
10000
16587
19699
22500
0,02
1026
1691
2401
2500
4147
4925
5625
0,03
456
752
1067
1111
1843
2189
2500
0,04
257
423
600
625
1037
1231
1406
0,05
164
271
384
400
663
788
900
Margem de
erro
20
É interessante reparar o tamanho
amostral para o caso mais exigente na
tabela 5.3 com nível de confiança de
99,73% e margem de erro de 0,5% (no
canto superior à direita). Com 90.000
elementos na amostra, a confiança
nos resultados da pesquisa é quase
perfeita. Essa conseqüência levanta
uma dúvida sobre a necessidade de
elaborar uma enorme estrutura
burocrática para o censo brasileiro
cada 10 anos.
21