UNIVERSIDADE FEDERAL
DA PARAÍBA
Distribuição Amostral
Luiz Medeiros de Araujo Lima Filho
Departamento de Estatística
INTRODUÇÃO
• A Inferência Estatística é um conjunto de técnicas que
objetiva estudar a população através de evidências fornecidas
por uma amostra.
• É a amostra que contém os elementos que podem ser
observados e, a partir daí, quantidades de interesse podem
ser medidas.
x
• A Distribuição Amostral retrata o comportamento de uma
estatística (média, proporção, entre outras), caso
retirássemos todas as possíveis amostras de tamanho “n”
de uma população.
• Uma estatística é uma função da amostra. Uma amostra
consiste de observações de uma variável aleatória. Assim,
estatísticas também são variáveis aleatórias e, por isso,
possuem uma distribuição de probabilidade.
x
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA MÉDIA
Considere uma população de 5 elementos (N = 5): 2, 3, 6, 8 e
11. Determine todas as amostras possíveis com reposição e
calcule a média e a variância
Solução: Na população, temos que µ=6 e σ2=10,8.
Amostra (2,2)
(2,3)
(2,6)
(2,8)
(2,11)
(3,2)
....
(11,11)
X
2
2,5
4
5
6,5
2,5
....
11
S2
0
0,5
8
18
40,5
0,5
....
0
• Seja X1, X2, ..., Xn uma a.a.s. retirada de uma população X.
Temos que X1, X2, ..., Xn são independentes, com E(Xi) = µ e
Var(Xi) = σ2. Assim, se X tem distribuição normal ou n > 30
(Teorema Central do Limite), temos que
x
• Suponha que podemos extrair todas as amostras de tamanho n
(sem reposição) de uma população finita de tamanho N, neste caso
temos que:
µX = µ e σ X =
σ
n
N −n
N −1
N − n
N − 1
A quantidade
é conhecida como o fator de correção amostral
para população finita, ou simplesmente “Fator de Correção”.
• Se o tamanho da população for muito grande, infinito ou ainda a
amostragem for feita com reposição, os resultados acima passam a
ser:
σ
µX = µ e σ X =
n
Obs: Uma população que tem um limite superior definido é chamada
de finita. Em estatística, considera-se como população finita quando
(n/N) > 0,05, ou seja, quando a fração amostral
x é maior do que 5 %.
Distribuição Amostral de X quando a população é normal
Distribuição Amostral de X quando a população não
é normal e amostra suficientemente grande
EXEMPLO 1
A altura dos estudantes da turma de Estatística tem
distribuição normal com média 172 cm e desvio padrão 9 cm.
Uma amostra de 25 estudantes é retirada.
a) Qual a probabilidade de que a média amostral seja acima
de 175 cm?
b) Qual a probabilidade de que a média amostral esteja entre
170 e 176 cm?
c) Qual deve ser a altura média dos estudantes que permita
que em 90% das vezes a média amostral seja inferior a este
valor.
DISTRIBUIÇÃO AMOSTRAL DA PROPORÇÃO
Considere uma população em que cada elemento é
classificado de acordo com a presença ou ausência de
determinada característica. Por exemplo, podemos pensar em
eleitores escolhendo entre 2 candidatos, pessoas
classificadas de acordo com o sexo, e assim por diante.Vamos
considerar uma população em que a proporção de indivíduos
com uma certa característica é p. Logo, podemos definir uma
v.a. X como
• Retira-se
uma a.a.s. de tamanho n dessa população. Seja
n
S n = ∑ X i o número de indivíduos com a característica de
i =1
interesse na amostra, temos que Sn ~ Binomial(n, p).
• A variável aleatória Sn tem distribuição exata dada por uma
binomial com parâmetros n e p. Desta forma, probabilidades
envolvendo a proporção amostral podem ser calculadas de
modo exato usando esta distribuição.
• Caso o valor de n seja muito grande, essas probabilidades
darão algum trabalho para serem calculadas e torna-se
conveniente utilizar a aproximação Normal.
TEOREMA CENTRAL DO LIMITE
A Distribuição Amostral de p̂ pode ser aproximada
por uma distribuição normal de probabilidade
sempre que o tamanho da amostra for grande.
Pode-se utilizar essa aproximação se são satisfeitas
as seguintes condições:
o np ≥ 5
o n(1-p) ≥ 5
Sn
n
• Sabemos que
tem distribuição normal para n
suficientemente grande. Seja pˆ = X , a proporção amostral,
temos que:
X =
Obs: σ p̂ é conhecido como erro padrão da proporção.
• Suponha que podemos extrair todas as amostras de
tamanho n (sem reposição) de uma população finita de
tamanho N, neste caso temos que:
µ pˆ = p
e σ pˆ =
p(1 − p) N − n
n
N −1
N − n
N − 1
A quantidade
é conhecida como o fator de correção
amostral para população finita, ou simplesmente “Fator de
Correção”.
• Se o tamanho da população for muito grande, infinito ou
ainda a amostragem for feita com reposição, os resultados
acima passam a ser:
p (1 − p)
x
µ pˆ = p e σ pˆ =
n
Exemplo 2
Com base em dados históricos, uma companhia aérea estima em
15% a taxa de desistência entre seus clientes, isto é, 15% dos
passageiros com reserva não aparecem na hora do vôo. Para
otimizar a ocupação de suas aeronaves, essa companhia decide
aceitar 400 reservas para os vôos em aeronaves que comportam
apenas 350 passageiros.
a) Qual a probabilidade de que essa companhia não tenha
assentos suficientes em um desses vôos. Essa probabilidade é
alta o suficiente para a companhia rever sua política de reserva?
x
Exemplo 3
De acordo com os estudos realizados pela Cagepa, no município de João
Pessoa, o consumo mensal de água por residência tem distribuição normal
com média 20 m3 e variância de 144 m3.
a)
Em uma amostra de 36 residências, qual a probabilidade de que a média
amostral não se afaste da verdadeira média populacional por mais de 2
m 3?
b)
Devida a escassez de água nos reservatórios, a empresa deseja estipular
um consumo médio de forma que em 95% das vezes o consumo médio
amostral seja inferior a este valor. Qual deve ser o valor estipulado pela
Cagepa?
Exemplo 4
Com base em dados obtidos em uma pesquisa de mercado,
observou-se a aceitação de um determinado sabonete é de 70%. A
empresa entrevistou 100 consumidores.
a) Qual deveria ter sido o tamanho da amostra com nível de
confiança de 95% e um erro amostral de no máximo 3%?
b) Qual a probabilidade de que a proporção amostral de
aceitação do sabonete esteja entre 65% e 78%?
c) Qual a probabilidade de que sejam encontradas 60 ou
mais consumidores que tenham aprovado o produto?