Produto Misto
Dados três vetores em 3 , u, v e w, tal que:
u  u1 , u2 , u3 , v  v1 , v2 , v3 e w  w1 , w2 , w3
Representamos:
  
  
u  v  w  u , v , w
É uma combinação de um produto escalar por um produto vetorial.
A essa combinação denominamos por “produto misto”:
u1
  
u , v , w  v1
w1
u2
v2
w2
u3
v3
w3
Propriedades geométricas
Teorema: Sejam u, v e w vetores não nulos em 3 .
a) O volume V do paralelepípedo que tem u, v e w
  
como arestas adjacentes é: V  u , v , w
b)
  
u , v , w  0 se, e somente se u, v e w
estiverem situados no mesmo plano (coplanares).
Volume do Tetraedro
V
1   
u, v, w
6
1) Calcule o produto misto dos vetores
u  2i  3 j  5k , v  i  3 j  3k e w  4i  3 j  2k .
2) Calcule o produto misto dos vetores
u  AB, v  AC e w  AD
sendo que
A  1, 2, 4  ; B  1, 0, 2  ; C  0, 2, 2  e D  2,1, 3  .
3) Determine o volume do paralelepípedo
formado pelos vetores u  2i, v  3 j e w  5k .
4) Determine o volume da caixa de lados adjacentes AB, AC e AD ,
sendo A  2,1, 1 ; B  3,0, 2  ; C  4, 2,1 e D  5, 3,0  .
Calcular a altura deste paralelepípedo relativo à base definida por AB e AC .
5) Para que valor de m os pontos
A  m,1, 2  ; B  2, 2, 3 ; C  5, 1,1 e D  3, 2, 2 
são coplanares?
6) Sabendo que os vetores AB   2,1, 4  , AC   m, 1,3 e AD   3,1, 2 
determinam um tetraedro de volume 3, calcular o valor de m.
Calcular a altura deste paralelepípedo relativo à base definida por AB e AD
.
Resumão – Produto Escalar
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Representação
Como se calcula
Resultado
Aplicações:
– Volume