Curso de Álgebra Linear
Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis
Resumo Teórico 02 - Espaços Vetoriais
VETORES: São elementos de um conjunto para os quais são válidas as operações de “Adição “
destes elementos e de “Multiplicação” destes elementos por um número real (IR).
Alguns exemplos de vetores:
¾ Os números Reais;
¾ Os pares ordenados de números reais;
¾ Os vetores da geometria representando segmentos orientados;
¾ As Matrizes Μmxn (IR);
¾ Os Polinômios Ρn (IR), de Grau n ( ≥ 0);
ADIÇAO DE VETORES
A adição de vetores associa dois(ou mais) vetores u e v, a um outro vetor: u + v = w.
Para a adição de vetores são válidas as seguintes propriedades:
A1: u + v = v + u ( comutativa);
A2: u + (v + w) = (u + v) + w ( associativa);
A3: ∃ 0 / u + 0 = 0 + u = u ( existência de Elemento Neutro, neste caso o vetor nulo);
A4: ∃ (-u) / u + (-u) = (-u) + u = 0 ( existência de Oposto, neste caso o vetor oposto);
MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO REAL POR UM VETOR
A Multiplicação de um vetor v por um número real k, associa o vetor v, a um outro vetor k•v = w.
Para a Multiplicação de um vetor v por um número real k são válidas as seguintes propriedades:
M1: λ• (κ•v) = (λ•κ)•v , ∀ λ , κ ∈ IR;
M2: κ • (u + v) = κ•u + κ•v, ∀ λ , κ ∈ IR;
M3: (λ+κ)•u = λ•u + κ•u , ∀ λ , κ ∈ IR;
M4: 1•v = v;
ESPAÇOS VETORIAIS
Dizemos que um conjunto V ≠ ∅ de vetores, é um “Espaço Vetorial”, sobre IR, quando e
somente quando neste conjunto estão definidas as operações de Adição de vetores e
Multiplicação de um número real por um vetor e que parta estas operações são válidas as 8
propriedades, isto é, A1, A2, A3, A4, M1, M2, M3, e M4, tal como registradas acima;
Exemplos de Espaços Vetoriais:
¾ O Espaço Vetorial IR , dos números Reais: { IR , + , • };
¾ O Espaço Vetorial IR2, dos pares ordenados de números reais: { IR2 , + , • };
¾ O Espaço Vetorial IR3, dos vetores geométricos: { IR3 , + , • };
¾ O Espaço Vetorial Μmxn (IR), das Matrizes Reais: { Μmxn (IR) , + , • };
¾ O Espaço Vetorial Ρn (IR) dos Polinômios reais de Grau n ( ≥ 0): { Ρn (IR) , + , • };
PROPRIEDADES DOS ESPAÇOS VETORIAIS
Considerando o Espaço Vetorial V, as propriedades a seguir são válidas, para os vetores e reais:
1. λ•0 = 0, ∀ λ ∈ IR;
2. 0•v = v, ∀ v ∈V;
3. Se λ•v = 0 ⇒ λ = 0 ou v = 0, ∀ λ ∈ IR;
4. (−λ)•v = −(λ•v) = λ•(−v), ∀ λ ∈ IR e ∀ v ∈V;
5. u−v = u+(−v), ∀ u, v ∈V;
6. (λ−κ)•v =λ•u − κ•u , ∀ λ , κ ∈ IR e ∀ v ∈V;
7. λ• (u − v) = λ•u − λ•v, ∀ λ ∈ IR e ∀ u, v ∈V;
8. −(−v) = v, ∀ v ∈V;
9. Se u + v = u + w ⇒ v = w , ∀ u, v w ∈V;
10. ∃ v/ u + v = w, ∀ u, v w ∈V;
11. O elemento neutro 0 é único;
12. O elemento oposto (−v) é único.
Centro Universitário da FSA
Prof.: Anastassios H.K.
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