Aula - 2
Escalares e Vetores
Definições, Escalar
• Definição:
– Escalar – Grandeza sem direção associada.
• Exemplos:
•
•
•
•
•
Massa de uma bola, 0.25 kg.
Tempo para a massa se mover uma distância
Temperatura (lida no termômetro)
Energia de um corpo.
Carga elétrica.
• Algumas grandezas escalares são sempre
positivas (massa). Outras podem ter os dois
sinais.
Definições, Vetor
• Algumas grandezas não podem ser
descritas por escalares.
• Para a velocidade importa não só o seu
valor, por exemplo 2m/s, mas também a
direção do movimento.
• Definição:
– Quantidades descritas por uma magnitude
(sempre positiva) e uma direção (sentido
implícito) são chamadas VETORES.
Posição em um mapa
• Você está no ponto A do
mapa.
• Deve andar 20 passos na
direção nordeste.
• Isto é um vetor! O vetor
deslocamento.
• Vetor representado por B
(negrito).
• Magnitude de B; B ou |B|
T
*
B
AA *
N
↑
Soma de Vetores
Soma de deslocamentos é um deslocamento
R=A+B
B
note que
A+B=B+A
R
R
A
Soma de Vetores(2)
Soma de mais um vetor
C
B
S=A+B+C
note que
S = (A + B) + C = A + (B + C)
R
S
S
A
Subtração de Vetores
A
A subtração
A - B = A + (-B)
-B
T
0 (zero) é o vetor nulo
0 = B + (- B)
B
-B
Multiplicação por escalar
2B
B
-0.5 B
Componentes
O vetor A pode ser decomposto
em uma soma da forma
A = Ax + Ay
Se definimos vetores unitários
i e j podemos escrever
A = Ax i + Ay j
onde Ax e Ay são escalares
definidos como as
componentes do vetor A.
Na figura ao lado, os unitários
são também ortogonais.
j
i
Representação polar
As componentes Ax e Ay são as
chamadas coordenadas
cartesianas do vetor A.
Podemos ainda definir um outro
conjunto de coordenadas para
descrever um vetor no plano.
Estas são as coordenadas
polares, dadas pelo módulo do
vetor A
A A  A
2
x
2
y
e pelo seu ângulo polar como
 Ay 
  tan  
 Ax 
1
A
Ay

j
i
Ax
Soma de vetores
Queremos somar os vetores A
eB
C=A+B
C
Isto é somar as suas componentes By
B
C = (Ax i + Ay j) + (Bx i + By j)
ou
C = (Ax + Bx)i + (Ay + By)j
C = Cx i
Ay
A
+ Cy j
Ax
Bx
Produto escalar
Definição
A . B = A B cos
A
Geometricamente,
projeta-se A na direção de B
e multiplica-se por B. Então,
(A cos) B ou (B cos) A
Note que A . B = B . A

A cos
B
B
Produto escalar
Devido à distributividade do produto escalar, podemos escrevê-lo
em termos das suas componentes cartesianas como
A  B  ( Ax i  Ay j  Az k )  ( Bx i  B y j  Bz k ) 
 Ax Bx i  i  Ax B y i  j  Ax Bz i  k 
 Ay Bx j  i  Ay B y j  j  Ay Bz j  k 
 Az Bx k  i  Az B y k  j  Az Bz k  k
Mas como
i.i = j.j = k.k =1 e i.j = i.k = j.k = 0
teremos
em termos das componentes cartesianas (em 3 dimensões)
A . B = AxBx + AyBy + Az Bz
Produto vetorial
Definição; C = A x B, cujo
módulo é dado por
C
C = |A x B| = A B sin 
B
e que tem

i) a sua direção perpendicular ao plano
formado por A e B;
A
ii) o seu módulo igual à área do
paralelogramo formado por A e B.
B

iii) e obedece a regra da mão direita
Note que o produto vetorial não é
comutativo
AxB=-BxA
-C
Produto vetorial
Devido à distributividade do produto vetorial, podemos escrevê-lo
em termos das suas componentes cartesianas como
A  B  ( Ax i  Ay j  Az k )  ( Bx i  B y j  Bz k ) 
 Ax Bx i  i  Ax B y i  j  Ax Bz i  k 
 Ay Bx j  i  Ay B y j  j  Ay Bz j  k 
 Az Bx k  i  Az B y k  j  Az Bz k  k
Mas como
ii  j j  kk  0
i  j  k , k  i  j, j  k  i
e
teremos
A  B  ( Ay Bz  Az By )i  ( Az Bx  Ax Bz ) j  ( Ax By  Ay Bx )k
Produto vetorial
Outra forma de se escrever o produto vetorial de dois vetores A e B
é através do determinante da matriz formada pelos unitários i, j e k
e pelas componentes cartesianas dos vetores A e B ao longo das suas
linhas
i
j
k
Ax
Ay
Az 
Bx
By
Bz
 ( Ay Bz  Az By )i  ( Az Bx  Ax Bz ) j  ( Ax By  Ay Bx )k
Exercícios
1) Uma pessoa sai para uma caminhada e segue o caminho
mostrada na figura abaixo. O caminho consiste de quatro
trechos em linha reta. Ao final da caminhada, qual o
deslocamento resultante da pessoa?
Exercícios
2) Um carro percorre uma distância de 30 km no sentido
Oeste-Leste; a seguir percorre 10 km no sentido SulNorte e finalmente percorre 5 km numa direção que
forma um ângulo de 30° com o Norte e 60° com o
Leste. Usando o método gráfico e o método analítico,
calcule:
(a) O módulo do deslocamento resultante.
(b) O ângulo entre o vetor deslocamento resultante e o
sentido Oeste-Leste.
Exercícios
3) Uma estação de radar observa um avião
aproximando-se vindo do leste. Na primeira
observação, a posição do avião é de 360 m a uma
altura de 40° acima do horizonte. O avião é rastreado
por 123°no plano leste-oeste e a distância final é de
791m. Determine o módulo do deslocamento do avião
durante o período de observação.
Exercícios
4) Qual o valor de m para que
sejam perpendiculares?
5) Encontre um vetor unitário perpendicular
aos vetores
Estática
• Condições de equilíbrio