Produto Escalar
Produto Escalar
• Chama-se produto escalar (ou produto
interno) de dois vetores u e v o número real
representado por u.v ou < u,v > e calculado
pela soma dos produtos das componentes
correspondentes dos vetores.
Se u = (x1, y1) e v = ( x2, y2 ) então
u.v = x1.x2 + y1.y2 .
Se u = (x1, y1 , z1) e v = ( x2, y2 , z2) então
u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2.
1) Determinar u.v, sabendo que u = (1,-2) e v = (4,2).
2) Sejam os vetores u = (3,2,1) e v = (-1, -4, -1). Calcular:
a) 2u
b) (u + v).(2u – v)
c) <u,u>
d) 0.v
3) Dados os vetores u = 3i -5j + 8k e v = 4i -2j – k, calcular
u.v.
4) Dados os
pontos
A(1,-2,0)
,
B(2,-1,-2)
e
C(4
,2
,1),

calcular AB BC
Propriedades
Propriedades do Produto Escalar
a) u.v = v.u
b) u.(v + w) = u.v + u.w
c) α(u.v) = (αu).v = u.(α v), com α  |R.
d) se u = 0, u.u = 0
e) se u ≠ 0, u.u > 0
f) u.u = |u|2
5) Sendo |u| = 4 e |v| = 2 e u.v = 3, calcular
(3u – 2v).(-u + 4v).
Obs.: |u + v|2
Definição geométrica:
Se u e v são vetores não nulos e θ é o ângulo
entre eles, então
u.v = |u|.|v|.cos θ.
6) Sendo |u| = 2, |v| = 3 e 60º o ângulo entre u
e v, calcular:
a) u.v
b) |u + v|2
c) |u – v|2
• Obs.: Qual o ângulo entre os vetores
u = (-1,2,1) e v = (2,1,1)?
Condição de ortogonalidade
Se u e v são vetores não nulos e θ é o ângulo
entre eles, então
u.v = |u|.|v|.cos θ.
Se θ = 90º, cos θ =0.
Dessa forma:
u.v = 0
Projeções Ortogonais
Sejam os vetores u e v não nulos e  o ângulo ente eles.
Pretendemos decompor um dos vetores, digamos v , tal que:
v  v1  v2
Sendo v1 / /u e v2  u .
O vetor v1 é chamado de projeção ortogonal de v sobre u e é indicado por:
v1  proju v
Observe que o vetor v1 é paralelo ao vetor u .
Desta forma podemos determinar a projeção como:
 v u 
u
v1  proju v  
 u u 


7) Dados os vetores v  (1,3, 5) e u  (4, 2,8) ,
decomponha v como v  v1  v2 sendo v1 / /u e v2  u .
8) Um triângulo no espaço tridimensional é formado
pelos vértices A 1, 2,3 , B  2, 2,0  e C  3,1, 4  .
Determine a medida da altura desse triângulo
em relação à base AB.
Resumão – Produto Escalar
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Representação
Como se calcula
Resultado
Definição geométrica
Aplicações:
– Cálculo de ângulo entre vetores
– Condição de ortogonalidade
– Projeção Ortogonal
Capítulo 2:
Produto
- Págs.: 66 a 70 ( 1 a 30, 36, 40 a 49)
Escalar
Amanhã – Trazer os livros