Equações diferenciais
Elementos de Análise Numérica
Introdução à solução de equações diferenciais
ordinárias
Pontos mais importantes:
- motivação, classificação de equações diferenciais
- método de Euler
- métodos de Runge-Kutta de segunda ordem (Huen e
“Midpoint”)
- método de Runge-Kutta de quarta ordem
- caso especial: método de Crank-Nicolson
1
Equações diferenciais
Elementos de Análise Numérica
As leis fundamentais da natureza são baseadas em observações e
são expressas por equações diferenciais. Exemplo: segunda lei de
Newton:
dv  F

dt
m
A equação anterior chama-se equação diferencial porque é
composta por uma variável dependente e a respectiva derivativa
em função da variável independente.
Para obter v, a equação tem que ser integrada!
2
Equações diferenciais
Elementos de Análise Numérica
outro exemplo:
.
me
Te
T.
Qint
.
.
m s = me
depósito com entrada e saída de massa
Ts=T
(igual caudal), podendo haver trocas
de energia com o ext. e fontes int.
.
Qext
Y= T ( t )
.
 , Te , T , Qint , Q ext ) = f (t , T )
Y = dT / dt  f (m
Equações diferenciais
Elementos de Análise Numérica
-ordem da equação diferencial:
dT
dx
-primeira ordem
qk
-segunda ordem
dT
d 2T
 2
dt
dx
-linearidade:
-linear
-não linear
d 2V


dx

(Poisson)
d 2
g


sen
2
dt
l
Só em casos simples podemos resolver equações diferenciais
não lineares analiticamente!
4
Equações diferenciais
Elementos de Análise Numérica
sabe-se y’ = f (x, y) , conds. iniciais : (xo , yo ) ou (xo , y’o )
pretende-se y = F (x )
dy
 f ( x , y)
dx
Solução:
yi+1=yi+fx
conj. pontos (xi , yi )
solução
y=F(x)
x=xi+1-xi
Nova estimativa = estimativa anterior + declive  passo
5
Equações diferenciais
Elementos de Análise Numérica
Método de Euler
y
( xi , yi )
y = F(x)
yi+1
( xi 1 , yi 1 )
xi 1  xi  x

f  f ( x i , yi )
yi
xi
xi+1
x
x
yi1  yi  f (x i , yi )  x
• método de 1ª ordem (1 estimativa
f em cada passo)
• o erro local é da ordem de x2
do desenvolvimento em série de Taylor :

x 

2
 x
• o erro global vai-se acumulando ( ~ x)
2
 yi''
6
Equações diferenciais
Elementos de Análise Numérica
exemplo :
3 l/min
T
3 l/min
c
V
dT
p
 f ( T, t ) 
(Tentr  T)
dt
Vc p
; T (t  0)  60ºC
T
V=100 l
20ºC
Solução analítica:
T( t )  Tentr  T(t  0) - Tentr  e
 
V
 t 
V 
Método de Euler(t=4 min):
i
0
1
2
3
4
5
6
t, min
0
4
8
12
16
20
24
T_exacto,ºC
60.0
55.5
51.5
47.9
44.8
42.0
39.5
T_Eu, ºC
60
55.2
51.0
47.3
44.0
41.1
38.6
erro_Eu, ºC
0.0
0.3
0.5
0.6
0.8
0.8
0.9
7
Equações diferenciais
Elementos de Análise Numérica
Métodos de Runge-Kutta de segunda ordem
f=(a1k1+a2k2)
então,
yi+1=yi+(a1k1+a2k2)×x
onde
k1= f(xi,yi)
-aplicando a expansão de Taylor
(sem prova), obtemos:
a1  a 2  1
1
2
1
a 2 q11 
2
a 2 p1 
Três equações 4 incógnitas
k2=f(xi+p1 x, yi+q11k1 x)
um grupo de métodos
-constantes a1, a2, p1 e q11
são para determinar
Uma constante (a2) é escolhida
“arbitrariamente”.
8
Equações diferenciais
Elementos de Análise Numérica
Método de Heun (Euler melhorado) (a2=0,5)
yi+1=yi+(0.5k1+0.5k2)×x onde
k1= f(xi,yi)
k2=f(xi+x, yi+k1x)
y
y = F(x)
yi+1
yi  1  yi 
yi
xi
xi+1
declive médio das tangentes em xi e xi+1
x
  f ( xi , yi )  f ( xi 1 , yi  x  f ( xi , yi )) 
2
x
• método 2ª ordem (2 estimativas f /passo)
• o erro local é da ordem de x3
Nota: idêntico à
solução de Euler
9
Equações diferenciais
Elementos de Análise Numérica
exemplo :
3 l/min
T
3 l/min
T
c
V
dT
p
 f ( T, t ) 
(Tentr  T)
dt
Vc p
V=100 l
20ºC
Solução Heun :
t, min
0
4
8
12
16
20
24
T_exacto,ºC
60.0
55.5
51.5
47.9
44.8
42.0
39.5
V
k1  Tentr  Ti 
V
V
k 2  Tentr  T ( Euler) i 1
V

Método de Heun (t=4 min):
i
0
1
2
3
4
5
6
; T (t  0)  60ºC
k_1
k_2
-1.2
-1.1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.7
-1.1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-0.6
T_He, ºC
60.0
55.5
51.5
48.0
44.9
42.1
39.7

erro_He, ºC
0.0
0.0
0.0
-0.1
-0.1
-0.1
-0.2
Equações diferenciais
Elementos de Análise Numérica
Método de “Midpoint” (Euler modificado) (a2=1)
yi+1=yi+k2x onde,
k1=f(xi, yi)
k2=f(xi+0.5 x, yi+0.5 k1 x )
y
y = F(x)
yi+1
declive da tangente no ponto médio
x
x


yi 1  yi  x  f  xi  , yi   f ( xi , yi ) 
2
2


yi
xi
xi+x/2
xi+1
x
• método 2ª ordem (2 estimativas f /passo)
• o erro é da ordem de x3
11
Equações diferenciais
exemplo :
3 l/min
T
c
V
dT
p
 f ( T, t ) 
(Tentr  T)
dt
Vc p
; T (t  0)  60ºC
T
V=100 l
3 l/min
Elementos de Análise Numérica
20ºC
V
Solução “Midpoint” : k1  Tentr  Ti 
V

V
k 2  Tentr  Ti  0.5  k1  t 
V
Método de Midpoint (t=4 min):
i
0
1
2
3
4
5
6
t, min
0
4
8
12
16
20
24
T_exacto,ºC
60.0
55.5
51.5
47.9
44.8
42.0
39.5
k_1
k_2
-1.2
-1.1
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
-1.1
-1.0
-0.9
-0.8
-0.7
-0.6
T_MP, ºC
60.0
55.3
51.2
47.6
44.4
41.5
39.0
erro_MP, ºC
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.4
0.4
12
Equações diferenciais
Elementos de Análise Numérica
Métodos de Runge-Kutta de quarta ordem (4 avaliações
da f/passo)
yi+1=yi+1/6(k1+2k2 +2k3 +k4)x
onde
k1= f(xi,yi)
k2=f(xi+0.5x, yi+0.5 k1 x)
k3=f(xi+0.5 x, yi+0.5 k2 x)
k4=f(xi+ x, yi+k3 x)
13
Equações diferenciais
Elementos de Análise Numérica
exemplo :
3 l/min
T
3 l/min
20ºC
Solução RK4 :

V
k1  Tentr  Ti 
V
T
V=100 l

V
k 3  Tentr  Ti  0.5  k 2  t 
V

V
k 2  Tentr  Ti  0.5  k1  t 
V

V
k 4  Tentr  Ti  k 3  t 
V
t=4 min:
i
0
1
2
3
4
5
6
t, min
0
4
8
12
16
20
24
T_exacto,ºC
60.0
55.5
51.5
47.9
44.8
42.0
39.5
k_1
k_2
k_3
k_4
-1.20
-1.06
-0.94
-0.84
-0.74
-0.66
-1.13
-1.00
-0.89
-0.79
-0.70
-0.62
-1.13
-1.00
-0.89
-0.79
-0.70
-0.62
-1.06
-0.94
-0.84
-0.74
-0.66
-0.58
T_RK4, ºC erro_RK4, ºC
60.0
0.00
55.5
0.00
51.5
0.00
47.9
0.00
44.8
0.00
42.0
0.00
39.5
0.00
14
Equações diferenciais
Elementos de Análise Numérica
Caso especial: método de Crank-Nicolson
se y’ = f ( y )
ex: dT/dt = f (T)
y
y = F(x)
yi+1
declive da tangente para y médio
 yi  yi 1 
yi 1  yi  x  f 

 2 
yi+yi+1
2
yi
semi-implícito
xi
xi+1
x
• método 1ª ordem com precisão equivalente a 2ª
15
Equações diferenciais
Elementos de Análise Numérica
3 l/min
T
3 l/min
T
c
V
dT
p
 f ( T, t ) 
(Tentr  T)
dt
Vc p
; T (t  0)  60ºC
V=100 l
20ºC
Solução Crank-Nicolson :

V
T T 
Ti 1  Ti   Tentr  i i 1   t
V
2 
t=4 min):
i
0
1
2
3
4
5
6
t, min
0
4
8
12
16
20
24
T_exacto,ºC
60.0
55.5
51.5
47.9
44.8
42.0
39.5
T_CR, ºC
60.0
55.5
51.5
47.9
44.7
41.9
39.5
erro_CR, ºC
0.00
0.01
0.01
0.01
0.01
0.02
0.02
16
Equações diferenciais
Elementos de Análise Numérica
Comparação dos métodos
1.0
0.8
0.6
Erro, ºC
0.4
0.2
0.0
0
5
10
15
20
25
-0.2
Euler
-0.4
-0.6
Euler_imp
Heun
Midpoint
-0.8
-1.0
Crank- Nic.
RK-4
t, min
17