SOLUÇÃO NUMÉRICA DE
EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS
Prof. Flávio Pietrobon Costa
Áreas de conhecimento do CNPQ
1.01.04.00-3 - Matemática Aplicada
3.05.01.04-0 - Princípios Variacionais e Métodos
Numéricos
SUMÁRIO
• Introdução
• Origens
• Conceitos gerais
– Equações diferenciais
– Métodos numéricos
• Métodos numéricos de solução
– ODE
– PDE
INTRODUÇÃO
•
Equações diferenciais
•
Surgiram na segunda metade
do século XVII
•
Associadas à descrição de
problemas aplicados
•
•
Soluções dessas equações
por procedimentos
numéricos
•
•
Problemas de elevado grau
de complexidade
•
Avanços importantes
tornaram-se possíveis, no
sentido da satisfação das
necessidades humanas.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Preservação ambiental,
Estudo de ecossistemas,
determinação de deformações e
esforços em grandes estruturas
barragens, plataformas de
petróleo e torres de
telecomunicação,
análise de estruturas de esbeltez
elevada,
estudos de aerodinâmica,
previsão atmosférica,
erosão costeira ou fluvial,
poços profundos,
planejamento cirúrgico,
exploração de jazidas
subterrâneas,
análise de problemas e projetos
relativos sistemas de potência e
transmissão de energia,

Problemas que resultam em sistemas de
equações diferenciais,

Elevado número de incógnitas,

Esforço de cálculo analítico proibitivo,

Custos elevados de execução,

Soluções vulnerabilizadas a erros
comprometedores (Cook, Malkus e Plesha, 1989).
• Evolução
dos
computadores
nas
últimas
décadas,
• Desenvolvimento das técnicas computacionais,
• Abordagem por métodos numéricos,
• Problemas complexos: grande no. de variáveis e
de equações: sistemas,
• Atualmente resolvidos por via computacional:
solução automatizada,
• Problemas envolvendo mecânica do contínuo
(Pietrobon, 1998).
• Os
métodos
numéricos
computacionais,
utilizando técnicas de programação adequadas à
otimização da busca de soluções, viabilizam o
estudo dos problemas complexos, com elevado
número de variáveis.
• Advento dos métodos numéricos: décadas de 50
e 60 (sec. XX),
• Prever e projetar, com apurado índice de acerto,
resultados derivados de sistemas complexos de
equações.
• Problemas associados à mecânica do contínuo:
simulação temporal por soluções precisas
(Bushnell, 1990).
• Ciências
físicas,
biológicas,
matemáticas,
químicas, engenharia, e do meio ambiente.
ORIGENS
Equações diferenciais
• O raiar da Teoria das Equações Diferenciais:
– acúmulo de 325 anos de informações,
– 11 de novembro de 1675, Leibinitz:
• Newton (Methodus fluxionum et
serierum infinitarum, escrito em 1671,
editado em 1744):
– equações de fluxo,
– relação entre taxas de variação (“fluxo”) e
variáveis independentes (“fluente”)
• associando dois fluentes,
• definindo as Equações Diferenciais
Ordinárias, EDO (inglês ODE).
• classe de equações: EDP (PDE),
• relaciona uma taxa de variação com
mais de duas variáveis.
• Contribuições de Newton e Leibnitz.
• Newton:
– desenvolvimento de solução em série de
potências,
– solução da equação por uma série infinita,
• resulta por substituição da série
representativa de y
• in Tractatus de quadratura curvarum,
1676, 1a publicação em Opticks, 1704
• O coeficiente a0 resulta totalmente
arbitrário,
• Família de soluções, infinita.
• Leibnitz, 1691, técnica de separação de
variáveis:
• Desenvolvimento
econômico e industrial,
• Sec. XVIII a XX, requisitos:
•ocupação do espaço territorial,
•mecânica, eletricidade, mineração,
navegação, vôo, construção, e outras
demandas da sociedade moderna.
– Choque ideológico e econômico entre
as potências,
– Requisito de maiores
avanços na tecnologia,
e
novos
– Avanço no conhecimento em áreas
fundamentais: matemática,
física,
química e engenharia,
–Rápido alcance dos limites de
segurança de materiais e técnicas
empíricas
de
construção
de
equipamentos,
–Condições de uso nos limites
segurança e da resistência
materiais: vôo a jato, exploração
águas profundas, construções
grandes estruturas,
da
dos
em
de
No seu conjunto, requisitos
desenvolvimento da tecnologia:
• resultam em modelos matemáticos
• sistemas de ODEs e EDPs,
• solução numérica computacional.
de
CONCEITOS GERAIS
solução de sistemas de equações diferenciais
(Tanehill, Andersen e Pletcher, 1997):
• experimental: modelo físico, medição direta,
análise dimensional, Teoria da Semelhança
(Carneiro, F. Lobo, 1993).
• analítica: simplificações teóricas, problemas
complexos tratáveis, solução depende da precisão e
eficácia das hipótese simplificadoras.
• computacional: modelo matemático, algoritmo de
solução,
hipóteses
coerentes,
simulação
numéricas,discretização do contínuo.
•Objeto de resolução: sistema de
equações diferenciais obtidas no
modelo numérico.
•Pontualmente na malha de
discretização do contínuo: função
algébrica integrada  solução,
•MDF: derivadas substituídas por
diferenças finitas apropriadas,
•MEF: funções de forma elementais
ponderadas, para modelar solução.
VANTAGENS DA ABORDAGEM
NUMÉRICA COMPUTACIONAL
• Liberdade de limitações de ordem dimensional,
de ordem física e espacial,
• Ausência
de
simplificadoras,
•
limitações
de
hipóteses
É a abordagem de maior potencial evolutivo.
• Precisão, prevenção de erros numéricos,
estabilidade e convergência do processo de solução
(Lapidus e Pinder, 1999).
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
•Contém uma ou mais derivadas, de 1a , 2a, ou
ordem superior.
•Derivadas ordinárias, correlaciona uma função,
ou variável dependente, com uma única variável
independente: EDO.
•Derivadas parciais: função dependente de mais
de uma variável. Derivadas indicando a variável
com que se relaciona: EDP (Dieguez, 1994):
MÉTODOS NUMÉRICOS
• procedimentos matemáticos,
• aplicação
otimizada
computacional,
para
emprego
• implementação em códigos que obedeçam a
algoritmos lógicos,
• solução de um problema de caráter científico
• aproximações numéricas sucessivas: processo
iterativo.
• rotina de análise e modelagem do problema,
• relações matemáticas entre variáveis, funções e
condicionantes desse problema,
• testes de validação e aperfeiçoamento.
PROBLEMAS DE APLICAÇÃO
MÉTODOS NUMÉRICOS DE
SOLUÇÃO
• EDOs, podem sempre ser reduzidos à
1a ordem:
•
z(x) nova variável
(Dieguez, 19994).
•
Solução genéricas de EDOs:
redução das EDOs de ordem superior
ao estudo de uma cadeia de n
equações de 1a ordem acopladas em
termos de funções yi , i=1,2,...,n:
dependente
O problema de solução numérica de EDO de ordem n:
• Não é resolvido somente com essas n equações de 1a
ordem,
• Crucial é a modelagem numérica (MDF, MEF etc),
• Consideração das condições de contorno associadas à
equação.
• Condições de contorno: valores algébricos de xi ou de yi
em pontos discretos específicos.
 PVI, problema de valor inicial: em que valores
algébricos de yi são fornecidos em pontos
iniciais xs, sendo necessário o conhecimento
desses valores para iniciar a solução da
equação;
 PVC, problema de valor de contorno: sendo
necessário o conhecimento de valores, ou
condições associadas a yi, em pontos xf que
determinam a fronteira da solução do
problema.
• Conceito de discretização desenvolvido por
Euler: substitui-se a taxa relacional por “steps”
ou incrementos y e x (Numerical recipes,
2002):
• Multiplicando toda a equação por x,
• Resultado: formulação algébrica análoga à
EDO, que fornece variação da função
correspondente à variação de x de um x.
• No
limite:
incrementos
adequadamente
pequenos, aproximação ótima para a avaliação
da função y, solução da EDO.
MÉTODO DE RUNGE-KUTTA PARA
EDO
Método de Euler
Euler: expansão em série de Taylor, truncando a série
no 2o termo, resultando um erro de ordem O(h2).
Runge-Kutta: redução da ordem de erro, seqüência de
formulações de 1a ordem, avaliação do valor
aproximado da função solução da EDO de ordem n.
Runge-Kutta de 2a ordem
Runge-Kutta de 4a ordem
EDO,
condições iniciais x0 = 0, y0 = 1, e xn = 0,1.Tomando 10
partições (n = 10) e, portanto h = 0,0:
SOLUÇÃO NUMÉRICA DA EDP
•
Relacionada a métodos de discretização e
integração de variáveis sobre um contínuo,
•
Método das Diferenças Finitas (FDM),
•
Método dos Elementos Finitos (FEM).
•
Nas últimas décadas: Diferenças Finitas
Energéticas (EFDM), Elementos de Contorno
(Boundary), Tiras (Strips) Finitas, dentre outros.
FDM: substituição das derivadas por formas de
diferenças finitas,
Obtidas pela expansão em Série de Taylor e
truncamento a nível da ordem de erro desejada:
Formulações análogas para formas em diferenças
finitas, centrais, a vante e a ré, para derivadas de
ordem superior, assim para a 2a derivada resulta a
forma central:
Aplicação em EDPs: equações algébricas,
Integrando contribuições pontuais do valor da
função,
Domínio contínuo discretizado em uma malha de
pontos,
Valores da função em vértices da malha :
Equação de onda, EDP, propagação de ondulação
em um meio contínuo:
Condições de bordo (contorno): extremidades fixas:
u(0,t) = u(L,t) = 0
Equação algébrica só tem solução para a condição
de estabilidade (Lapidus e Pinder, 1999; e Diegues,
1994):
Corda inicialmente em repouso, em posição u(x) = x
(4-x), de extremidades fixas, com comprimento 4 m, 
de 2 m/s, discretizada em 8 partições, resultando x =
0,5 m e t = 0,25 s.
REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA
( E. L. Ince, Ordinary differential equations, Dover publications, New york,
1944;
( L. Lapidus and G. F. Pinder, Numerical solutions of partial differential
equations in science and engineering, John Wiley & Sons Inc, Toronto,
1999;Cook, Malkus e Plesha, 1989;
( Pietrobon, F.C.; Formulação Numérica por Diferenças Finitas Energéticas da
Flexão Dinâmica de Vigas com a Consideração da Deformabilidade por
Cortante e da Inércia de Rotação; Tese M.Sc., COPPE/PEC-UFRJ, Rio de
Janeiro, 1998;
( Bushnell, D.; Finite-difference Energy Models Versus Finite Element Models:
Two Variacional Approaches in One Computer Program; Lockheed Missiles
and Space Co., Palo Alto, in “Stress, Stability and Chaos in Structural
Engineering Approach”, organizer El Naschie, McGraw-Hill Book Co.,
Singapore, 1990;)Isaac Newton, Methodus fluxionum et serierum
infinitarum, 1744;
( Tractatus de quadratura curvarum, Opticks, 1704;
( Tannehill, J.C.; Andersen, D.A.; Pletcher, R.H.; Computacional Fluid
Mechanics and Heat Transfer; Taylor & Francis Publishers, 1997;
( Carneiro, F. Lobo.; Análise Dimensional e Teoria da Semelhança e dos
Modelos Físicos; Editora UFRJ, Rio de Janeiro, 1993;
( Numerical recipes, Cambridge University Press, 2002.