Métodos numéricos em casos bi
e tridimensionais
Equação
c
c
c
c

c

c

c
 u1
 u2
 u3






 F  P 
t
x1
x2
x3 x1 x1 x2 x2 x3 x3
Quando problema era 1D a discretização implícita ou semi-implícita
dava origem a um sistema de equações que podia ser organizado
numa matriz tridiagonal de fácil inversão.
Neste caso as equações eram escritas sequencialmente, de acordo
com a ordem geográfica dos pontos. No caso de métodos
numéricos envolvendo mais de 3 pontos a matriz teria mais do que
3 diagonais, mas continuariam a ser adjacentes.
No caso de modelos bidimensionais a arrumação das equações na
matriz origina pelo menos 5 diagonais, mas não são adjacentes. Isso
dificulta a inversão do sistema. A resolução pode usar um método
iterativo, No entanto os métdos de passo de tempo fraccionário são
os mais indicados.
Método ADI
c
c
 c  c 

  u1
t / 2
 x1 
t  t / 2
t  t
t
t  t / 2
c
t / 2
t  t / 2
 c 

  u1
 x1 
 c 

  u 2
 x2 
t  t / 2
t
 c 

  u2
 x2 
t  t
• Adicionando as equações obtém-se:
 c 
c c

 2 u1
t / 2
 x1 
t  t
t
t  t / 2
 c t  c t  t 
   u2
 
  u2
 x2   x2  
rearranjando
c  c  c 

  u1
t
 x1 
t  t
t
t  t / 2
t
t  t






1
c
c
   u2
 
  u2
2  x2   x2  


Método ADI
• Este método simplifica a resolução da matriz
originada pelo cálculo implícito, permitindo
trabalhar com matrizes em que todas as
diagonais são adjacentes à principal. Nos
métodos mais simples são tridiagonais.
• Se invertermos a ordem de cálculo em duas
iterações consecutivas o método é simétrico nas
duas direcções.
• O método pode ser convertido em cálculos
puramente unidimensionais.
Método ADI
c  c  c 

  u1
t
 x1 
*
t
*
 c  c 

  u2
t
 x2 
Adicionando :
c
c
t  t
*
t  t
*
 c  c   c 
   u 2

  u1
t
 x1   x2 
t  t
t
t  t
Métodos implícitos
c
 c 
c

  u1
t
 x1 
t  t
**
c  c  c 

  u1
t
 x1 
**
*
c  c  c 

  u1
t
 x1 
*
t
*
**
t  t
Passo de tempo fraccionário
t  t
t  t
c c  c
c c
c c c c




t
t
t
t
t
t
**
**
*
Se o método fosse explícito:
c
 c 
c

  u1
t
 x1 
t  t
**
c  c  c 

  u1
t
 x1 
**
*
c  c  c 

  u1
t
 x1 
*
t
*
**
t  t
*
t
Métodos ADE (2D)
• ADE: O cálculo seria feito alternadamente em
cada uma das direcções, mas explícito.
c  c  c 

  u1
t
 x1 
*
c
t
t
 c  c 

  u 2
t
 x2 
t  t
*
*