Aula 6
Propagação de erros
Conteúdo da aula:
Como estimar incertezas de uma medida
indireta
Como realizar propagação de erros?
Exemplo: medimos A e B e suas incertezas. Com calcular a incerteza
de C, se C =A+B?
Propagação de ERROS
• O resultado de uma medida está
sempre sujeito a erro aleatórios
• Medidas realizadas em condições idênticas
• Valores diferentes!
Já vimos que:
N medidas de uma grandeza física: x1, x2, x3,... xn
Definimos:
n
• Média
• Desvio padrão
• Desvio padrão da
média
y
y
i
i 1
n
1 n
2

 yi  y 

n  1 i 1
m 

n
Como expressar o resultado de um conjunto
de medidas?
Média para um conjunto de n medidas

x  i

x
i
n
Mas como saber a incerteza de uma medida indireta?
Imagine que medimos uma quantidade x e
calculamos outra quantidade f.
f depende de x segundo uma função
matemática.
f = f(x)
Como podemos calcular o erro de f?
• Volume de um cilindro
V R H 
2

4
D2H
• Como o volume do cilindro varia com o raio e altura
– Calcule o volume do cilindro, fixando o raio, para H +
H e H – H. Calcule a diferença desses dois
extremos em relação ao valor médio, calculado com
a medida H
– Calcule o volume do cilindro, fixando a altura, para D
+ D, R – D. Calcule a diferença desses dois
extremos em relação ao valor médio, calculado com
a medida D
• Qual é a incerteza no volume?
– Como combinar as duas variações (diâmetro e
altura)?
• Volume de um
cilindro
V   R2 H
• Como uma
variação na
medida de raio
afeta o volume?
• Essa variação é
a mesma,
independente
da medida do
raio?
A mesma incerteza
no raio acarreta em
incertezas diferentes
no volume
Teoria de erros
• Teoria na qual estuda-se o
comportamento dos erros de medidas,
como eles influenciam outras medidas,
bem como propagá-los no caso de uma
medida indireta.
• Propagação de erros
– Método para calcular a incerteza de uma
medida indireta
Propagação de erros:
fórmula geral
• Seja uma grandeza
G, dependente de
duas variáveis, A e B.
• O valor da incerteza
em G, G, pode ser
expressa em termos
das incertezas em A
e B (A e B,
respectivamente)
através da fórmula:
 G   G 
G  
A  
B 
 A
  B

2
Derivada parcial
de G em relação
àA
Não conte aos matemáticos puristas  mas a
derivada parcial nada mais é do que a derivada
comum onde todo o resto da equação pode ser
considerado constante
2
Vamos fazer um exemplo simples
• Volume de um cilindro
V

4
D2 H
• O Volume depende tanto do raio R, cuja
incerteza é R, e da altura H, com incerteza
H. Assim, a incerteza do volume é dada
por:
 V
  V

V    D   
H 
 D
  H

2
2
Como calcular as derivadas
• Suponha que todo o resto da
expressão é uma constante....
V
   2   ( D 2 ) 


 H (2D)  DH
 D H H
D D  4
D
4
2
 4
V
   2   2 ( H )  2
 2

 D (1)  D
 D H D
H H  4
H
4
4
 4
Desse modo...
• Incerteza do volume do cilindro
 V
  V

V    D   
H 
 D
  H

2
2
 2
 D  H 

  2 
  DH  D    D  H   D H  2
 

4
2
 4

 D   H 
2
V
 D  H 
 2
 

V
D
H

 

2
2
2
2
2
Professor, eu preciso fazer esse
montão de derivadas e contas
toda vez?
A rigor deve-se sempre calcular as
derivadas
Na prática, com o tempo, desenvolve-se
técnicas que simplificam a nossa vida
Dois casos muito comuns:
Soma e subtração
Multiplicação e divisão
Dois casos comuns
• Soma e subtração
– A incerteza da soma
(ou subtração) é a raiz
da soma dos
quadrados das
incertezas individuais
• Multiplicação e divisão
– A incerteza percentual
do produto (ou divisão)
é a raiz da soma
quadrática das
incertezas percentuais
individuais
C  A  B, ou C  A  B
 C   A2   B 2
A
C  AB, ou C 
B
C
A  B 
 
 

C
A
B

 

2
2