Propagação de erros
Como estimar incertezas de uma medida
indireta
Como realizar propagação de erros?
Exemplo: medimos A e B e suas incertezas. Com calcular a incerteza
de C, se C =A+B?
Propagação de ERROS
• O resultado de uma medida está
sempre sujeito a erro aleatórios
• Medidas realizadas em condições idênticas
• Valores diferentes!
Já vimos que:
N medidas de uma grandeza física: x1, x2, x3,... xn
Definimos:
n
• Média
• Desvio padrão
x
x
i 1
i
n


2
1 n

xi  x

n  1 i 1
Desvio padrão
Como expressar o resultado de um conjunto
de medidas?
x 
Mas como saber a incerteza de uma medida indireta?
Imagine que medimos uma quantidade x e
calculamos outra quantidade f.
f depende de x segundo uma função
matemática.
f = f(x)
Como podemos calcular o erro de f?
Teoria de erros
• Teoria na qual estuda-se o
comportamento dos erros de medidas,
como eles influenciam outras medidas,
bem como propagá-los no caso de uma
medida indireta.
• Propagação de erros
– Método para calcular a incerteza de uma
medida indireta
Propagação de erros:
fórmula geral
• Seja uma grandeza
G, dependente de
duas variáveis, A e B.
• O valor da incerteza
em G, G, pode ser
expressa em termos
das incertezas em A
e B (A e B,
respectivamente)
através da fórmula:
 G   G 
G  
A  
B 
 A
  B

2
Derivada parcial
de G em relação
àA
2
Vamos fazer um exemplo simples
• Volume de um cilindro
V

4
D2 H
• O Volume depende tanto do raio R, cuja
incerteza é R, e da altura H, com incerteza
H. Assim, a incerteza do volume é dada
por:
 V
  V

V    D   
H 
 D
  H

2
2
Como calcular as derivadas
• Suponha que todo o resto da
expressão é uma constante....
V
   2   ( D 2 ) 


 H (2D)  DH
 D H H
D D  4
D
4
2
 4
V
   2   2 ( H )  2
 2

 D (1)  D
 D H D
H H  4
H
4
4
 4
Desse modo...
• Incerteza do volume do cilindro
 V
  V

V    D   
H 
 D
  H

2
2
 2
 D  H 

  2 
  DH  D    D  H   D H  2
 

4
2
 4

 D   H 
2
V
 D  H 
 2
 

V
D
H

 

2
2
2
2
2
Na prática, com o tempo, desenvolve-se
técnicas que simplificam a nossa vida
Quatro casos muito comuns:
Soma e subtração
Multiplicação e divisão
Casos comuns
• Soma:
( x   x )  ( y   y )  ( x  y)  ( x   y )
• Subtração:
( x   x )  ( y   y )  ( x  y)  ( x   y )
Casos comuns
• Multiplicação:
( x   x )  ( y   y )  ( x  y)  ( x   y  y   x )
• Divisão:
(x   x ) x 1
  2  (x  y  y  x )
(y  y) y y