Exercícios Cálculo de Incerteza de Medição
1) Calibração de um termômetro digital
Utilizamos no laboratório um termômetro eletrônico com
indicação digital, para medir temperaturas das peças,
padrões de referência e máquinas, que devem estar numa
temperatura próxima a 20 º C.
A incerteza do termômetro digital (SMC) é obtida da calibração
efetuada contra um termômetro padrão de líquido em vidro
(SMP).
Características do SMC
Termômetro eletrônico digital
•Faixa de temperatura de interesse: 19 a 21º C
•Resolução da indicação: 0,01 º C
1
Características do SMP
Termômetro de líquido em vidro com Certificado de Calibração
sob validade.
•Faixa de medição: 19 a 21º C
•Valor de uma divisão: 0,01 º C
•Resolução adotada na calibração: 0,005 ºC
•Incerteza expandida 95% = ± 0,005 ºC com 50 g.l. (K=2).
• Estabilidade = ± 0,005 ºC
Procedimento de calibração
Foi utilizado procedimento interno da instituição, que prevê 3
níveis de temperatura (19, 20 e 21ºC) e no mínimo 3 medições
em cada temperatura após a estabilização térmica. A
estabilização térmica é efetuada numa câmara climatizada com
incerteza de 0,01 ºC.
2
Resultados
Ponto
1
2
3
SMC (ºC)
19,00
20,00
21,00
SMP (ºC)
1ª
2ª
3ª
19,110 19,110 19,110
20,130 20,120 20,120
21,140 21,140 21,135
Média
19,110
20,123
21,138
Processamento dos Dados ºC
Tendência DP Incerteza Inc Exp 95%
-0,110
0,0000 0,0076
0,015
-0,120
0,0058 0,0083
0,017
-0,140
0,0029 0,0078
0,016
A determinação detalhada das incertezas combinada e
expandida é apresentada somente para a temperatura de 20
ºC.
3
PLANILHA PARA DETERMINAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO
Calibração Termômetro Digital - para temperatura de 20º C
Componentes da Incerteza
Distr de Prob.
Ui
Valor + ou - ºC Tipo
Divisor
(ºC)
Simbolo Fontes
Usmp
Incerteza do SMP
0,005
Normal K=2
2
0,0025
Esmp
Estabilidade do SMP
0,005
Retangular
3 raiz
0,0029
Homo
Homog. Térmica
0,01
Retangular
3 raiz
0,0058
Re smp Res. do SMP
0,0025
Retangular
3 raiz
0,0014
Re smc Res. do SMC
0,005
Retangular
3 raiz
0,0029
Us
Incer. Tipo A
0,0033
Normal
1
0,0033
uc
Incerteza combinada
Normal
U
Incerteza expandida
Normal K=2,03
Da tabela de Student para 80 g.l. 95,45% t=2,03 ou seja K=2,03
0,00834
0,01693
g.l. eff
50
inf
inf
inf
inf
2
79
79
4
Aplicação dos resultados da Calibração
Resultado da medição:
I  20,01 º C
RM  ( I  C )  U 95 º C
Em condições adversas
p/ex. chão de fábrica, não
corrigimos a medição e
jogamos a tendência na
incerteza, neste caso:
RM  (20,01 0,12)  0,017
RM  (20,13  0,017)º C ou
RM  R  U max
RM  (20,13  0,02)º C
U max  Td max  U
RM  (20,01 0,16)º C
max
U max  0,14  0,017
U max  0,157º C
5
2) Medição de tensão elétrica
Um multímetro digital foi usado para medir tensão elétrica de
100 mV DC. Determine a componente tipo A da incerteza
utilizando 10 indicações de tensão obtidas com o multímetro.
Nº Medição Indicação (mV)
1
100,0015
2
100,0003
3
100,0022
4
100,0000
5
100,0000
6
100,0012
7
100,0020
8
100,0009
9
100,0017
10
100,0019
6
As incertezas do tipo B foram obtidas do certificado de
calibração do multímetro, do manual do fabricante e de
dados experimentais prévios
Fonte de Incerteza
Incerteza do multímetro
Estabilidade desde a última calibração
Tensões termoelétricas
Valor (micro V) Distribuição
1,0
Normal (k=2)
2,5
Retangular
1,0
Retangular
7
PLANILHA PARA DETERMINAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO
Medição de tensão elétrica
Componentes da Incerteza
Distr de Prob.
Ui (μ V)
Valor + ou - micro V Tipo
Divisor
Simbolo Fontes
U 95% Incerteza do Multímetro
1
Normal K=2
2
0,5
Ue
Estabilidade
2,5
Retangular
3 raiz
1,443
Ut
Tensões termoelétricas
1
Retangular
3 raiz
0,577
UA
Tipo A
832,73
Normal
1
832,73
uc
Incerteza combinada
Normal
U
Incerteza expandida
Normal K=2
Da tabela de Student para infinitos g.l. 95,45% t=2,320
832,7316
1931,937
g.l eff
inf
inf
inf
9
9,0001
Considerou-se que a resolução já está dentro da incerteza do multímetro.
8
Perguntas:
1. Qual o valor mais provável da tensão elétrica ?
MI  (100,0012 0,8327)mV
Resultado expresso com 68 % de certeza.
2) Qual a incerteza expandida, assumindo-se que não há
correlação entre as várias fontes de incerteza ?
U  k.u U  1,9319mVpara incerteza de95%
3) Qual o resultado para 95% de certeza ?
MI  (100,0012 1,9319)mV
9
3) Paquímetro
Determine a incerteza expandida com probabilidade de 95%,
para a medição de uma barra de alumínio.
Foram executadas 3 medições da barra de Al:
I1  1000,58 m m
I 2  1000,54 m m
I 3  1000,56 m m
x  1000,56 m m (m édiade 3 indicações)
s  0,02 m m (desvio padrãoexperim ental)
10
Incertezas:
 Um termômetro digital indicou uma temperatura de 45º C no
ambiente de medição, a incerteza do termômetro é U 68% = ±
0,3 º C;
 Existe uma diferença de temperatura entre a barra de Al e o
paquímetro de até 2º C;
 O paquímetro tem U 95 = 150  m;
 A temperatura de referência que quer-se o resultado é 20 ºC;
 O coeficiente de expansão linear do Al =  Al  25m / mK
incerteza  Al de (23 a 27)m / mK
 O coeficiente de expansão linear do aço paquímetro =
aço  11m / mK
incerteza do   (10 a 12)m / mK
aço
11
Contribuições das incertezas:
a) Incerteza do termômetro: U 68 = ± 0,3 ºC
   Al   Paq  25  11  14 m / m º C
T  U 68  0,3 º C
lTer  L. .T  1,0056x0,3x14  4,202353m
b) Diferença de temperatura entre barra e paquímetro,
assumindo o máximo de 2 ºC:
  ( Al   Paq ) / 2  (25  11) / 2  18m / m º C
T  2º C  T  2a  a  1 º C
ldifT  L. .a  1,00056x 18 x 1  18,01m
12
c) Incerteza devido a pureza do alumínio;
se  Al LI  23 e LS  27m / m º C  a Al  2m / m º C
T  TAl  Tref  25º C
L Al  L.a Al .T  1,00056x 2 x 25 50,03m
d) Incerteza devido pureza do paquímetro;
se  Paq LI  10 e LS  12m / m º C  a Paq  1m / m º C
T  TPaq  Tref  25º C
L Al  L.a Paq .T  1,00056x 1 x 25 25,01m
e) Avaliação Tipo A das medições;
s  0,02m m
s
0,02
uA 

 11,55m
n
3
13
PLANILHA PARA DETERMINAÇÃO DA INCERTEZA DE MEDIÇÃO
Medição de uma barra de alumínio com paquímetro
Componentes da Incerteza
Distr de Prob.
Fontes
Valor + ou - micro m Tipo
Divisor
Simbolo
U 95% Paq Incerteza de Cal do Paq.
150
Normal K=2
2
Var Term
Incerteza da Temperatura
4,2
Retangular
3 raiz
Var L1
Dif. Temp da peça e SM
18,02
Retangular
3 raiz
Var L 2
Incerteza alfa do alumínio
50,03
Retangular
3 raiz
Var L 3
Incerteza alfa do paquímetro
25,01
Retangular
3 raiz
UA
Avaliação tipo A
11,55
Normal
1
uc
Incerteza combinada
Normal
U
Incerteza expandida
Normal K=2
Da tabela de Student para 5 374,77 g.l. 95,45% t=2 ou seja K=2
 eff
Ui (μm)
75
2,42
10,4
28,88
14,44
11,55
83,1564
166,313
g.l. eff
inf
inf
inf
inf
inf
2
5375
5375
83,16
uc4
 n 4 
 5374,77
ui
2,424 10,404 28,884 14,444 11,554 75,004










2

i 1  i
4
14
Efeito sistemático:
Com a temperatura de 45 ºC tem-se a expansão tanto da barra
de Al como do aço do paquímetro, gerando-se um efeito
sistemático, assim:
Para barra de Al  T . ..L  25º C.25m / m K.1,00056m  625,35m
Para aço Paq. T . ..L  25º C.11m / m K.1,00056m  275,154m
625,35m  275,154m  350,196m
Resultado da medição:
RM  1,00056 (0,35)   0,166m m
RM  (1000,21 0,17)m m
RM  (1000,2  0,2)m m
15