Dimensões Euclidianas
FEP 113 – Aula 2b
Marcus Raele
Instituto de Física da Universidade de São Paulo
Objetivo:
Estudar a relação entre massa e dimensão
para diferentes tipos de objetos.
Densidade Linear, Superficial e
Volumétrica
l l
Para o nosso caso
m

l
m

a
m

v
a  r 
2
d
2
4
d
4r


6
3
3
3
Para o caso do bastão
m

l
m l
y  ax  b
Coeficiente Angular
Coeficiente Linear
Agora:
Olhar
os gráficos;
Como obter o valor de ?

O
Reta...
que é necessário para ajustar uma reta?

“Um ponto é um ponto?”
Colocar

Incertezas!!!
Agere, non loqui
Colocando incerteza
Massa em função do comprimento
30
25
Massa(g)
20
15
10
5
0
0
2
4
6
8
Comprimento (mm)
10
12
14
•Não deve
Obrigatoriamente passar
pelo zero.
Análise de Dados:
A Reta
•Não deve
Obrigatoriamente passar
pelo centro de todos os
pontos
Massa em função do comprimento
30
•Não deve usar dois
pontos para traçar uma
reta
25
Massa(g)
20
•Os pontos devem estar
ALEATORIAMENTE
DISTRIBUÍDOS em
relação à reta
15
10
5
0
0
2
4
6
8
Comprimento (mm)
10
12
14
•Os pontos devem se
dividir metade para cima
da reta e metade para
baixo da reta
APROXIMADAMENTE
Coeficiente angular
Massa em função do comprimento
30
25
Massa(g)
20
Não foi pego um
ponto e sim a reta
tg 
15
10
5
0
0
2
4
6
8
Comprimento (mm)
10
12
14
y
 Coef .ang .
x
Agora e o Disco e a Esfera:
Qual
a relação entre a massa e a dimensão
característica?
Como linearizar?
Olhar os gráficos;
O que é necessário para ajustar uma reta?


“Um ponto é um ponto?”
A Incerteza é a mesma?
Analise de Dados:
1400
f(x) = x2
1200
1000
x-sx
800
(x+sx)2
x
(x-sx)2
x
x+sx
600
400
200
0
0
5
10
15
20
x
25
30
35
40
Analise de Dados:
x-sx
1400
x
(x-sx)2
x+sx
1200
f(x) = x2
(x+sx
)2
x
1000
800
600
400
200
0
0
5
10
15
20
x
25
30
35
40
Como propagar então?:
Como propagar então?:

x  s x   x  s x 

2
sx2
2

2
2
2
2
2
x  2 xsx  sx  x  2 xsx  sx


2
4 xsx

 2 xsx
2
Como propagar então?:
s x3
3
3

x  sx   x  s x 


2
2
2
x 2  2 x s x  s x x  s x   x 2  2 x s x  s x x  s x 


2
2
3
2
3
x 3  3x 2 s x  3x s x  s x  x 3  3x 2 s x  3x s x  s x


2
3
6 x 2 s x  2s x

 3x 2 s x
2




Analise de Dados:
Propagação de Incertezas



Qual a incerteza da densidade linear do
bastão?
Qual a incerteza da densidade volumétrica da
esfera?
Qual a incerteza da densidade superficial do
disco?
Incertezas do Ajuste
Massa em função do comprimento
30
a  a
sa 
2
25
Massa(g)
20
15
b  b
sb 
2
10
5
0
0
2
4
6
8
Comprimento (mm)
10
12
14
Analise de Dados:
Densidade volumétrica do Bastão

Qual a densidade2volumétrica do bastão?
d
4
m  L   b L
 b  2
4
d
 Qual a incerteza da densidade volumétrica do bastão?
 Uma fração é tanto maior quanto maior seu numerador e
menor seu denominador, e vice-versa.
1 4    s
sb 
 2
2   d  sd 2
    s

  d2  s 2
d
 




Analise de Dados:
Densidade volumétrica do Disco

Qual a densidade volumétrica do disco?
m 
d
4
2
 d h
d
4
2
 d 

h
 Qual a incerteza da densidade volumétrica do disco?
 Uma fração é tanto maior quanto maior seu numerador e
menor seu denominador, e vice-versa.
sd
1    s
 
2  h  sh
    s 
  

  h  sh  
DDisco

M Disco

2
HRDisco
2- Calculando na raça
( M Disco  Incerteza)
DDiscoMax 
H ( RDisco  incerteza) 2
DDiscoMin
( M Disco  Incerteza)

H ( RDisco  incerteza) 2
Re sultado:
( DDiscoMax  DDiscoMin )
SD 
2
Síntese
•Introdução:
•Objetivos;
•Descrição dos conceitos físicos do experimento;
•Descrição do experimento;
•Propagações de incertezas;
•Resultados:
•Tabela de dados COM INCERTEZAS;
•Gráfico m x d3 para a esfera com barra de incerteza;
•Gráfico m x d2 para o disco com barra de incerteza;
•Gráfico m x L para o bastão com barra de incerteza;
•Coeficientes lineares e angulares com respectivas incertezas;
•Densidade linear e superficial com respectiva incerteza (pelo método das retas);
•Densidade volumétrica do bastão, esfera e disco com respectivas incertezas (pelo método
das retas);
•Incluir gráficos feitos à mão.
•Conclusões:
•Discutir os métodos utilizados (pq usar ajustes?), os valores obtidos ,etc...
•Os coeficientes lineares são nulos?
•Bibliografia
Se a cada medida tem uma
incerteza...
Tudo o que derivar de uma medida terá uma
incerteza associada:
Incerteza
DDisco

M Disco

2
HRDisco
Qual a incerteza final da densidade então???
DDisco

M Disco

2
HRDisco
1- Derivando (relação geral...)
2
2
 F   F 
s F  
s1   
s2   etc...
 x1   x2 
então
2
 D
  D 

sM  
sR

 M
  R

2
sF
2
2