Distribuições de Caudas
Pesadas e Aplicações em
Redes de Computadores
Diogo de Carvalho Pedrosa
Janine de Aguiar Loureiro
Marcilia Andrade Campos
Motivação
 Crescimento da Internet
 Entender a natureza do tráfego
 Melhorar o desempenho da rede
Poisson x Tráfico Internet
Caudas Pesadas
P(X > x) ~ x-
x , 0 <  < 2
 Variância infinita
 Valores grandes com probabilidade não desprezível
x
10
100
1000
x-0.5
0.316228
0.1
0.031622
x-1
0.1
0.01
0.0001
x-1.5
0.031622
0.001
0.000032
Distribuição de Pareto
Função de Densidade:
f x   K  x  1
onde
  0, K  0, x  K
Função de Distribuição Acumulada:
F x  P X  x  1 K / x

onde
  0, K  0, x  K
com
 1
com
 2
Esperança Matemática:
E X   K  1
1
Variância:
2
1
2
V  X   K  1   2
Distribuição de Pareto
Parâmetro K=10
 = 1,0
 = 0,5
 = 0,1
Exponencial x Pareto
P(X > x)
x
exponencial
Pareto
 = 0,00033
 = 1,1 K = 300
300
0,900
1,00
600
0,820
0,47
1500
0,610
0,17
3000
0,370
0,079
6000
0,135
0,037
10000
0,036
0,021
50000
10-8
0,0036
100000
10-17
0,0017
Variáveis que seguem a
distribuição de Pareto
 Número de conexões numa rajada (burst) de
uma seção FTP
 Tamanho das rajadas em bytes
 Tamanho dos arquivos no sistema Unix
 Tempo de CPU consumido por processos
Unix
 Distribuição do tamanho dos documentos
na Web
 Tamanho dos arquivos na Web
- Número de pedidos de arquivos
- Número de arquivos transferidos
- Número de arquivos únicos
 Período off – período a estação não está
recebendo dados
 Tamanho de uma conexão WWW
 Popularidade dos documentos em
função de seus tamanhos
Distribuição de Weibull
f x   x
  1
e
x 
Parâmetro  =1
 = 0,1
 = 0,4
 = 0,7
 = 1,0 (Exponencial)
Variável que segue a
distribuição de Weibull
 Período on – período de transmissão de
arquivos Web
Distribuição Lognormal
2
1
{log(
x
)


}
f ( x)  [ x 2 ]1 exp[
]
2
2

Parâmetro  =0
 = 0,5
 = 1,0
 = 1,5
Variável que segue a
distribuição Lognormal
 Tamanho de conexões TELNET em pacotes
Conclusões
 Importância das distribuições de caudas
pesadas em redes de computadores.
 Tráfego auto-similar.
Projeto AUTO-SIM
 Parceria da UFPE com a UFC.
 Objetivos:
- Analisar
- Modelar
- Controlar
- Prever
Bibliografia
 N. L. Johnson, S. Kotz, N. Balakrishnan, “Continuos Univariate
Distributions”, volume 1, 1994.
 J. K. Patel, C. H. Kapadia, D. B. Owen, “Handbook of statistical
distribuitions”, volume 20, 1976.
 M. A. Campos, J. L. C. Silva e P. R. F. Cunha, “Modelagem
Estocástica de Tráfego de Redes de Alta Velocidade”. Jornada de
Atualização de Informação, XXI SBC.
 http://www.dcc.ufmg.br/pos/html/espg98/anais/cristina/cristina.html.
 http://www.dcc.unicamp.br/~9772294/Research/Tese.html.
 M. E. Crovella, A. Bestravos, M. S. Taqqu, “Heavy-tailed Probability
Distributions in the World Wide Web”, A Pratical Guide To Heavy
Talis: Statistical Techniques and Applications, Birkhauser, Boston,
1998.
Bibliografia
 Carlos R. Cunha, Azer Bestavros e Mark E. Crovella,
“Characteristics of WWW Client-based Traces”, Techinical
ReportBU-CS-95-010, Boston University Computer Science
Department, 1995.
 Vern Paxson e Sally Floyd, “Wide-Area Traffic: The Failure of
Poisson Modeling”, IEEE/ACM Transactions on Networking,
3(3), pgs. 226-244, junho de 1995.
 Vern Paxson e Sally Floyd, “Why we don´t Know How to
Simulate The Internet”, Proceedings of the 1997 Winter
Simulation Conference, Atlanta, GA, 1997.
 Walter Willinger e Vern Paxson, “Where the Mathematics meets
the Internet”, Notices of American Mathematical Society, 45(8),
pgs. 961-970, setembro de 1998.