GEOMETRIA DESCRITIVA A
11.º Ano
Perendicularidade Resumo
© antónio de campos, 2009.
recta – recta, geral:
Duas rectas são
perpendiculares se são
complanares e as suas
direcções ortogonais (a
90º).
Duas rectas são ortogonais
se não são complanares e
são paralelas a duas rectas
perpendiculares.
Com a perpendicularidade,
mesmo com rectas
perpendiculares, as suas
projecções não são
perpendiculares, a não ser
se uma das rectas for
paralela a um plano de
projecção.
Uma recta frontal f, que contém o ponto P (2; 2; 3), e faz um ângulo de 50º (a.d.)
com o Plano Horizontal de Projecção. Determina as projecções de uma recta oblíqua
r, perpendiculare à recta f. A projecção horizontal da recta r faz um ângulo de 60º
(a.d.) com o eixo x.
y≡ z
r2
f2
P2
x
f1
P1
r1
rectas não paralelas aos planos de projecção:
Duas rectas são perpendiculares se são complanares e as suas direcções
ortogonais (a 90º), via recta auxiliar que seja paralela a um dos planos de
projecção
fα
s2
r2
h2
x
F2
P2
F’1
F1
r1
s1
P1
h1
hα
F’2
Pretendem-se as projecções de uma recta oblíqua s perpendicular à recta oblíqua r
e passando pelo ponto P.
fα
s2
r2
h2
x
F2
P2
F’1
F1
r1
s1
P1
h1
hα
F’2
A solução passa
por utilizar um
plano perpendicular
(plano auxiliar α) à
recta r e contendo
o ponto P, pois uma
recta
perpendicular a um
plano é
perpendicular a
todas as rectas
desse plano e o
inverso também é
verdade.
Uma recta
horizontal h do
plano α, contendo o
ponto P e
perpendicular à
recta r vai auxiliar
a obter os traços
do plano.
recta – plano, geral:
Uma recta é perpendicular a um plano, se é perpendicular a duas rectas
concorrentes desse plano.
fα
p2
P2
x
hα
P1
p1
Os traços do
plano α (fα e hα)
são duas rectas
concorrentes
desse plano. Se a
recta p é
perpendicular a fα
e hα, é portanto
perpendicular ao
plano α.
Os traços de um plano oblíquo α são concorrentes num ponto com 1 cm de abcissa e
fazem com o eixo x, ângulos de 30º (a.d.) e 60 (a.e.), respectivamente o traço
frontal e o traço horizontal. Desenha as projecções de uma recta p, perpendicular
ao plano α e passando pelo ponto M (-1; 4; 4).
y≡ z
fα
p2
M2
x
p1
M1
hα
recta – plano de rampa:
Uma recta é perpendicular a um plano de rampa, se for uma recta de
perfil, via rebatimento.
p1 ≡ p2 ≡ hπ ≡ fπ ≡ p’1 ≡ p’2 ≡ e2 ≡ fπr
p’r
fρ
B2
pr
Ar
A2
Br
F 2 ≡ Fr
H2 ≡ F1 ≡ (e1)
Hr
x ≡ hπr
hρ
H1
A1
B1
Uma recta de perfil p
permite obter a
perpendicularidade ao
plano ρ.
Depois para definir a
recta, é necessário
obter outro ponto da
recta para além do
ponto A.
Para poder obter o
outro ponto, recorrese a uma outra recta
de perfil p’, contida
num plano ρ; e do
plano π, que contém a
recta p; pelo processo
de rebatimento.
É dado um plano de rampa ρ com 4 cm de afastamento e 3 cm de cota. Desenha as
projecções de uma recta p, perpendicular ao plano ρ e passando pelo ponto R (3; 4).
p1 ≡ p2 ≡ hπ ≡ fπ ≡ p’1 ≡ p’2 ≡ e2 ≡ fπr
pr
p’r
fρ
S2
F2 ≡ F r
H2 ≡ F1 ≡ (e1)
x ≡ hπr
hρ
Rr
R2
Sr
R1
S1
H1
Hr
Uma recta de perfil p
permite obter a
perpendicularidade ao
plano ρ.
Depois para definir a
recta, é necessário
obter outro ponto da
recta para além do
ponto R.
Para poder obter o
outro ponto, recorrese a uma outra recta
de perfil p’, contida
num plano ρ; e do
plano π, que contém a
recta p; pelo processo
de rebatimento.
plano – recta, geral:
Uma recta é perpendicular a um plano, se é perpendicular a duas rectas
concorrentes desse plano, via rectas horizontais ou frontais.
fα
r2
h2
P2
F2
F1
x
P1
r1
h1
hα
Uma recta
perpendicular a
um plano é a
todas as rectas
do plano, incluindo
uma recta
horizontal.
Uma recta
horizontal
passando pelo
ponto P vai
auxiliar na
obtenção dos
traços do plano α.
Uma recta r é definida pelos pontos M (1; 3; 4) e N (-2; 1; 2). Determina os traços
de um plano θ perpendicular à recta r e passando pelo ponto P (1; 2; 3).
y≡ z
r2
fα
M2
h2
F2
P2
N2
x
F1
N1
P1
M1
h1
r1
hα
Uma recta
perpendicular a um
plano é a todas as
rectas do plano,
incluindo uma recta
horizontal.
Uma recta horizontal
passando pelo ponto
P vai auxiliar na
obtenção dos traços
do plano θ.
plano – plano, geral:
Um plano é perpendicular a outro plano, se contiver uma recta perpendicular ao
outro plano.
Pretendem-se os traços de um plano δ, perpendicular ao plano α e
passando pelo ponto P.
F2
fα
p2
fδ
P2
x
H2
F1
Uma recta p que
pertence ao plano
δ é perpendicular
ao plano α.
P1
hα
hδ
p1
H1
Qualquer outro
plano que
contenha a recta
p é perpendicular
ao plano α.
planos - planos bissectores:
Um plano é perpendicular a outro plano, se contiver uma recta perpendicular ao
outro plano, com as características das rectas contidas nos bissectores.
Os planos bissectores são planos de rampa (passante), e portanto contém rectas
fronto-horizontais, rectas oblíquas (passantes) e rectas de perfil (passantes).
No caso de rectas fronto-hrizontais, será sempre um plano de perfil que será
perpendicular à recta. Assim os planos de perfil serão sempre perpendiculares aos
bissectores.
fα
r2
fδ ≡ hδ
s1 ≡ s2
x
x
r1
hα
Uma recta r
pertence ao
bissector β1,3, é
perpendicular ao
plano α.
Uma recta s
pertence ao
bissector β2,4, é
perpendicular ao
plano δ.
Uma recta frontal f faz um ângulo de 30º (a.e.) com o Plano Horizontal de
Projecção, e tem 3 cm de afastamento. Determina os traços do plano α,
perpendicular ao β1,3, e que contém a recta f.
f2
fα
H2
x
f1
H1
hα
O traço frontal do plano é
paralelo à projecção frontal
da recta, porque o plano α
contém a recta f.
Pelo facto do plano α ser
perpendicular ao β1,3 têm os
seus traços simétricos, fα é
simétrico com hα em relação
ao eixo x.