Engenharia e
Gestão da Produção
Teoria de Sistemas
de Controlo Linear
Resolução do 1º teste
(repescagem)
Ano lectivo 1999/2000
03-11-2000
Copyright 2000, Jorge Lagoa
Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
I
1. Desenhe um diagrama de blocos do sistema de controlo de um aquecimento
residencial. Considere a existência de perturbações ao sistema. Identifique claramente
a entrada e a saída do sistema.
influência da
temperatura exterior
temperatura de referência
elementos de controlo
comando
comutador
temperatura lida
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caldeira
aquecedor
instalação
residência
temperatura fornecida
pelo aquecimento
termómetro
temperatura presente
na residência
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2. Use o princípio de sobreposição para determinar a saída y do sistema da figura
seguinte.
X2=cos t
X1=sen 2t
X3= t
+
_
+
d
dt
+
d
dt
y
3
y  y1  y2  y3
d2
d2
y1  3 2  x1   3 2  sen 2t   12 sen 2t 
dt
dt
d2
d2
y2  3 2 x2  3 2 cos t   3 cos t
dt
dt
d
d
y3  3 x3  3 t   3
dt
dt
y  12 sen 2t   3 cos t  3  34 sen 2t   cos t  1
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Obs.: dado as entradas não
serem lineares, o princípio
de sobreposição não se
pode aplicar.
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II
1. Dada a equação diferencial x  6 x  9 x  u com as seguintes condições iniciais:
x0  0
x0  3
a) Determine a transformada de Laplace da equação diferencial.
x  6 x  9 x  u
L
s 2 xs   sx 0  x 0  6sx s   x0  9 xs   u s 
s 2 xs   0  3  6sx s   0  9 xs   u s 
s 2 xs   6sx s   9 xs   3  u s 
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b) Indique a função de transferência do sistema, através da resposta forçada (considera
todas as condições iniciais nulas), sabendo que u é a entrada do sistema.
s 2 xs   6sx s   9 xs   u s 
s
2

 6 s  9 x s   u s 
x s 
1
1
F s  
 2

u s  s  6s  9 s  32
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c) Obtenha a saída em termos temporais, usando a transformada inversa de Laplace,
resultante de uma entrada do sistema em degrau unitário.
x s  
1
3


u
s

s  32
s  32
1
1
3
a
b1
b2
3
u s    x s  





2
2
s
s s  32 s  3 s  32
ss  3 s  3
 1 
1
a  F s   s s 0  

2


s

3

 s 0 9
1
1 
2
b1  F s   s  3 s  3   

3
 s  s  3




 d  1 
1
d
 1
2 
b2   F s   s  3 
   
  2 

9
 ds
 s  3  ds  s  s  3  s  s  3
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x s  
1
1
1
3



9 s 3s  32 9s  3 s 2  6s  9
x s  
1
1
1
9



9 s 3s  32 9s  3 3 s 2  6s  9
L
1
xt  
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

wn2  9  wn  3rad / s
2ξwn  3  ξwn  1,5  ξ  0,5
1 1  3t 1  3t
 te  e  1,155e 1,5t sen 2,598t 
9 3
9
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2. Dada a seguinte função de transferência de um sistema em anel aberto:
G s  
25
s s  6 
a) Determine a função de transferência em anel fechado, considerando que a
realimentação é unitária e negativa.
25
G s 
25
25
s s  6 
F s  


 2
1  G s  1  25
ss  6  25 s  6s  25
s s  6 
Ou através de:
G s  
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N s 
N s 
25
25
 F s  

 2
D s 
Ds   N s  ss  6  25 s  6s  25
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b) Determine o tempo de crescimento, o tempo de pico, o máximo sobreimpulso e o
tempo de estabelecimento da resposta a um degrau unitário.
wn2  25  wn  5 rad / s
3 3
2ξwn  6  ξwn  3  ξ 
  0,6
wn 5
wd  wn 1  ξ 2  5 1  0,6 2  4 rad / s
β  arcsen 1  ξ 2  arcsen 1  0,6 2  arcsen 0,8  0,93 rad
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π  β π  0,93
tr 

 0,55 s
wd
4
ts 
π π
  0,785 s
wd 4
Mp e

ξ
1ξ 2
π
e

0,6
10 , 62
π
4
4
ts 
  1,33 s
ξwn 3
3
3
tr 
 1s
ξwn 3
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 0,095
(critério 2%)
(critério 5%)
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III
Considera o sistema mecânico da figura que apresenta as equações seguintes:
x1
k1
F

m1
m2
f1
f2

F  k1 x2  m1s 2  f1s  k1 x1
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x2
k2


k1x1  m2 s 2  f 2 s  k1  k2 x2
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a) Obtenha o grafo de fluxo correspondente.
x2 
k1
x1  αx1
m2 s 2  f 2 s  k1  k 2
F
1
k1
x1 
F

x2 
m1s 2  f1s  k1
m1s 2  f1s  k1
 βF  γx2
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x1
b
x2
a
g
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b) Determine a função de transferência
de ganho de Mason.
x2
, em malha fechada, usando a fórmula
F
F
P1  βα
x1
b
L11  αγ
  1 - L11  1  αγ
x2
a
g
1  1
1
k1

P11
βα
m1s 2  f1s  k1 m2 s 2  f 2 s  k1  k 2
G



k
k

1  αγ 1 
1
1

m2 s 2  f 2 s  k1  k 2 m1s 2  f1s  k1

m s
2
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k1
2


 f 2 s  k1  k 2 m1s 2  f1s  k1  k12
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