Engenharia e
Gestão da Produção
Teoria de Sistemas
de Controlo Linear
Resolução do 2º teste
Ano lectivo 2000/2001
20-01-2000
Copyright 2001, Jorge Lagoa
Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
I
1.1. Determine a função de transferência global do seguinte diagrama de blocos:
R(s) +
+
G2
+
+
H1
G3
H2
20-01-2000
C(s)
+
G1
Copyright 2001, Jorge Lagoa
Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
G3
R(s)
1
C(s)
G1
G2
1
C(s)
R(s)
H1
-H2
Caminhos directos:
P2  G1G3
P1  G1G2
Malhas fechadas:
L11  G1H1
20-01-2000
L12  G1G2 H 2
Copyright 2001, Jorge Lagoa
L13  G1G2 H 2
Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
Determinantes de fluxo de sinal (função característica):
  1  L11  L12  L13   1  G1 H1  G1G2 H 2  G1G3 H 2 
 1  G1 H1  H 2 G2  G3 
1   2  1
Caminhos directos:
G1G2  G1G3
c P1  1  P2   2


r

1  G1 H1  H 2 G2  G3 
20-01-2000
Copyright 2001, Jorge Lagoa
Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
1.2. Considera o sistema mecânico da figura, que apresenta as equações seguintes:
x1
F

k1
m1
m2
f1
f2

F  k1 x2  m1s 2  f1s  k1 x1
20-01-2000
x2

k2

k1x1  m2 s 2  f 2 s  k1  k2 x2
Copyright 2001, Jorge Lagoa
Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
a) Obtenha o grafo de fluxo correspondente.


F  k1 x2  m1s 2  f1s  k1 x1 


x1 
k1 x1  m2 s 2  f 2 s  k1  k2 x2 
F

1
k1
F

x2   F   x 2
2
2
m1s  f1s  k1
m1s  f1s  k1
x2 
k1
x1   x1
2
m2 s  f 2 s  k1  k 2
x2
x1


20-01-2000
Copyright 2001, Jorge Lagoa
Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
x
b) Determine a função de transferência 2 , em malha fechada, usando a fórmula de
F
ganho de Mason.
P1   
L11   
  1  L11  1   
1  1
1
k1

x2 P1  1

m1s 2  f1s  k1 m2 s 2  f 2 s  k1  k 2




2
k1
F

1-  
1
m1s 2  f1s  k1 m2 s 2  f 2 s  k1  k 2



x2
k1

F
m1s 2  f1s  k1 m2 s 2  f 2 s  k1  k 2  k12

20-01-2000

Copyright 2001, Jorge Lagoa

Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
II
2.1. Considere o sistema representado pela seguinte função de transferência:
G (s) 
2s  1
s 4  s 3  s 2  4s  1
a) Aplique o critério de Routh e determine se o sistema é estável. Justifique.
s4
3
s
s2
s1
s0
1 1 1
1 4 0
3 1
13
3
1
0
O sistema é instável, pois existe alteração de
sinal na primeira coluna.
b) Indique o número de pólos com partes reais positivas.
Justifique.
Existem duas trocas de sinal (+ para - e - para +) na
primeira coluna, então o sistema tem dois pólos com
partes reais positivas.
20-01-2000
Copyright 2001, Jorge Lagoa
Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
2.2. O denominador de uma função de transferência de um sistema em anel fechado é
dada por:
s 3  4 s 2  8s  k
Quais os valores de k para que o sistema seja estável?
s3
1
8
s
s1
4
8  K4
K
0
s0
K
2
k
8   0  32  k  0  k  32
4
k 0
0  k  32
20-01-2000
Copyright 2001, Jorge Lagoa
Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
III
3. A função de transferência de um sistema é a seguinte:
G(s) 
K s  3
s  5s  2  3 j s  2  3 j 
a) Determine a função de transferência em malha fechada, sabendo que a
realimentação é unitária negativa
Dado a realimentação ser negativa, a função de transferência em malha fechada é:
K s  3
G s 
s  5s  2  3 j s  2  3 j  
F ( s) 

K s  3
1  G ( s ) H s  1 
s  5s  2  3 j s  2  3 j 
K s  3

s  5s  2  3 j s  2  3 j   K s  3
20-01-2000
Copyright 2001, Jorge Lagoa
Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
b) Determine a função de transferência em malha aberta do sistema realimentado.
K s  3
G ( s ) H s  
s  5s  2  3 j s  2  3 j 
c) Esboce o gráfico do lugar geométrico das raízes (L.G.R.) para K   ;
1
3
20-01-2000
Número de ramos, zeros e pólos
nº de zeros  m=1
(s=-3)
nº de pólos  n=3
(s=-5; s=-2-3j; s=-2+3j)
n>m  n=3 ramos
Número de ramos para infinito
nº de ramos para infinito  n-m=3-1=2
Copyright 2001, Jorge Lagoa
Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
4
Assimptotas dos ramos para infinito
Como existem2 ramos para infinito, as assimptotas fazem 180 entre si (360/2):
k>0
l=0
l=1
5

180
 90
2
  90  180  270
  0
  0  180  180
Origem das assimptotas

20-01-2000
k<0
 5  2  2   3  6

 3
2
2
Copyright 2001, Jorge Lagoa
Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
6
Pontos de convergência/divergência

K
s  5s  2  3 j s  2  3 j  s 3  9s 2  33s  65
ws  


Gs H s 
s3
s3




dws  d  s 3  9s 2  33s  65  3s 2  18s  33 s  3  s 3  9s 2  33s  65
 
0

2
ds
ds 
s3
s  3

2s 3  18s 2  54s  34  s  4,077  1,866 j s  4,077  1,866 j s  0,845  0
Há apenas um ponto de convergência/divergência em -0,845. Os restantes
valores não são possíveis, pois não se encontram sobre o eixo real.
20-01-2000
Copyright 2001, Jorge Lagoa
Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
7
Ângulos de partida dos pólos complexos




  tg 1
  45
  90

3
k 0
 71,6
1
  180  45  90  71,6  116,6
k 0
  45  90  71,6  63,4  296,6
'
'
'



8
k 0
  360    288,4
  180  315  270  288,4  116,6  243,4
  360    315
k 0
  270
  315  270  288,4  296,6  63,4
Não há zeros complexos
20-01-2000
Copyright 2001, Jorge Lagoa
Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
Determinando os pontos de cruzamento com o eixo imaginário:
s 3  9s 2  33  K s  65  3K   0
s  jw   jw  9 jw  33  K  jw  65  3K   0
3
2
 jw3  9w2  33  K  jw  65  3K   0
 9w2  65  3K  0


 w3  33  K w  0 



w  0  65  3K  0  K  21,667
w2  33  K   0  w2  33  K 
 9  33  K   65  3K  0  K  38.667
 w   33  38.667  2,381 j
O L.G.R. corta o eixo imaginário em w=0. Os restantes valores não são possíveis, pois
não se encontram sobre o eixo imaginário.
20-01-2000
Copyright 2001, Jorge Lagoa
Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
10
10
8
8
6
6
4
4
2
2
Imag Axis
Imag Axis
Esboço do gráfico do L.G.R..
0
-2
0
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-10
-10
-5
0
Real Axis
5
10
-10
-10
k 0
20-01-2000
-5
0
Real Axis
k 0
Copyright 2001, Jorge Lagoa
5
10
Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
d) Descreva de forma simplificada como obter os valores de K para o qual o sistema é
estável, a partir do L.G.R.
Da observação do L.G.R. verifica-se que o sistema é sempre estável
para K>0. Para valores de K<0, verifica-se que o sistema é estável até
ao valor de K=-21,667 correspondente ao cruzamento do L.G.R. com
o eixo imaginário (w=0), sendo instável para os restantes valores de
K.
20-01-2000
Copyright 2001, Jorge Lagoa
Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
e) Se quisesse aproximar este sistema através dos pólos dominantes a um sistema
equivalente do segundo grau, que função de transferência utilizaria? Justifique.
K s  3
G( s) 
s  5s  2  3 j s  2  3 j 
Os pólos dominantes são os que poderão causar instabilidade mais cedo, logo os que se
encontrem mais perto do eixo imaginário. Os pólos domnantes so sistema são os dois
pólos complexos conjugados pelo que utilizaria a função de transferência:
1
1
G' ( s) 
 2
s  2  3 j s  2  3 j  s  s  4
20-01-2000
Copyright 2001, Jorge Lagoa