Engenharia e
Gestão da Produção
Teoria de Sistemas
de Controlo Linear
Resolução do 2º teste
Ano lectivo 1999/2000
03-11-2000
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Engenharia e Gestão da Produção
Teoria de Sistemas de Controlo Linear
I
Dada a função de transferência em anel aberto:
G( s) 
5
s  5  s 2  s  4


a) Determine a função de transferência em malha fechada, sabendo que a
realimentação é unitária negativa.
Dado a realimentação ser unitária, a função de transferência em malha aberta é:
5
G ( s ) H s  
s  5  s 2  s  4

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
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Dado a realimentação ser negativa, a função de transferência em malha fechada é:
G s 
F (s) 

1  G ( s ) H s 
5

s  5 s 2  s  4


5
1
s  5  s 2  s  4
5

s  5  s 2  s  4  5




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

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b) Se quisesse aproximar este sistema através dos pólos dominantes a um sistema
equivalente do segundo grau, que função de transferência utilizaria. Justifique.
5
G( s) 
s  5s  0,5  1,9 j s  0,5  1,9 j 
Os pólos preponderantes são os que poderão causar instabilidade mais cedo, logo os
que se encontrem mais perto do eixo imaginário.
5
5
G' ( s) 
 2
s  0,5  1,9 j s  0,5  1,9 j  s  s  4
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II
A função de transferência de malha aberta de um sistema é a seguinte:
G( s) 
K
ss  1s  2s  4
a) Seguindo os procedimentos esboce o gráfico do L.G.R. para K>0.
1
3
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Número de ramos, zeros e pólos
nº de zeros  m=0
nº de pólos  n=4
(s=0; s=-1; s=-2; s=-4)
n>m  n=4 ramos
Número de ramos para infinito
nº de ramos para infinito  n-m=4-0=4
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4
Assimptotas dos ramos para infinito
k>0
l=0
l=1
l=2
l=3
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180
 45
4
3 180

 135
4
5 180

 225
4
7 180

 315
4

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k<0
  0
360
 90
4
2  360

 180
4


3  360
 270
4
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5
Origem das assimptotas

6
0 1  2  4
7
   1,75
4
4
Pontos de convergência/divergência
ws  
K
 ss  1s  2s  4
Gs H s 
dws 
0
ds

dws  d
 ss  1s  2s  4
ds
ds
s  3,326s  1,531s  0,393  0
7
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Há três pontos de convergência/divergência em -3,326, -1,531 e -0,393.
Não há pólos, nem zeros complexos
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8
8
6
6
4
4
2
2
Imag Axis
Imag Axis
b) Esboce o gráfico do L.G.R. para K<0.
0
0
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-6
-4
-2
0
Real Axis
2
4
6
8
-8
-8
-6
k 0
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-4
-2
0
Real Axis
2
k 0
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4
6
8
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c) Utilize o critério de Routh e determine o limite de K para o qual o sistema em anel
fechado é estável.
A equação característica, para o anel fechado, é:
1  G s   0
k
1
0
ss  1s  2s  4
ss  1s  2s  4  k  0
s 4  7 s 3  14s 2  8s  k  0
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s4
s3
s2
1
7
12,857
14 k
8 0
k
s1
s0
8  0,545k
k
0
8
8  0,545k  0  k 
 k  14,679
0,545
k 0
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0  k  14,679
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d) Determine a razão de amortecimento dos pólos complexos para K=5.
s  3,709

4
3
2
k  5  s  7 s  14s  8s  5  0  s  2,825
s  0,233  0,650 j

Para os pólos complexos:
0,65
 2,79    tg 1 2,79  70,279
0,233
ξ  cos 70,279  0,337
tg 
0,65

 0,233
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Ou ainda através de:
ξ  cos  
0,233
0,65  0,233
2
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2
 0,337
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e) Indique de que outra forma poderia calcular os limites de K calculados na alínea c).
Pode-se obter através do L.G.R.. Como a transição se dá sobre o eixo
imaginário, então s=jw. Substituindo na equação característica e
resolvendo obtém-se os valores limites de K. Para ver como o K
varia, deve-se interpretar a evolução do K no L.G.R.
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Demonstrando:
s 4  7 s 3  14s 2  8s  k  0
s  jw   jw  7 jw  14 jw  8 jw  k  0
w4  7 jw3  14 w2  8 jw  k  0
4
3
2
w4  14 w2  k  0

 7 jw3  8 jw  0  w  0  k  0
2
8  1,069

7
w

8

0

w


7

k   w4  14 w2  1,069 4  14 1,069 2  14,697
São os valores de k sobre o eixo imaginário. Da observação do LGR,
verifica-se que se inicia em k=0 e cresce até k=14,694. A partir deste
valor entra na zona de instabilidade.
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III
Dada a função de transferência em anel aberto:
G ( s ) H s  
15s  2
s 2 s  4s  6
Algumas indicações úteis:


d
ss  1s  2s  4  d s 4  7s 3  14 s 2  8s  s  3,326 s  1,531s  0,393 
ds
ds
s 2  s  4  s  0,5  1,9 j s  0,5 1,9 j 
s 4  7s3  14s 2  8s  5  s  3,709s  1,825s  0,233 0,650 j s  0,233 0,650j 
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a) Determine o ganho de Bode e coloque a função de transferência na forma de Bode.
K  zi
15  2 30
KB 


 1,25
 pi 1 4  6 24
1,251  jw 
2

G  jwH  jw 
 jw2 1  jw 4 1  jw 6 



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b) Construa o esboço do diagrama de Bode.
Ganho:
G  20 log 10 1,25  1,938

  0
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Zero em 2:
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Pólo duplo na origem:
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Pólo em 4:
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Pólo em 6:
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Adicionando todos os sinais:
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Obs.:
 frequência de cruzamento de ganho é
cerca de:
1,25 rad/sec.
 margem de fase é
aproximadamente:
-180-(-170) = -10
a
frequência
de
cruzamento de fase é
cerca de:
2 rad/sec.
 margem de ganho é
aproximadamente:
10 db.
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