POTENCIAÇÃO EM R
1. Potência de base real e expoente natural
Para um a real e um n natural, maior ou igual a 2, tem-se:
an =a × a ×...× a, com n fatores iguais a a.
Exemplos:
42 = 4 × 4 = 16
104 = 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000
Define-se:
a1 = a, a R
a0 = 1, a R*(A expressão 00 ainda causa polêmica)
POTENCIAÇÃO EM R
2. Potência de base real e expoente inteiro
Sendo a um número real não-nulo e n um número inteiro,
define-se:
a
n
1
 n
a
1
1
1
1
3
Exemplos : 5  2  ; 10  3 
.
5
25
10 1000
2
Quando a base estiver na forma fracionária, basta fazer:
n
a
b
    
b
a
n
2
2
 3
 4  16
Ex. :        
9
 4
 3
POTENCIAÇÃO EM R
3. Potência de base real e expoente racional
Sendo a um número real positivo e os números inteiros m e
n, n 1, define-se:
m
m
n
n
a  a
Exem plos:
2
3
(1) 2  3 2 2  3 4
 0 , 25
(2) 16
1
4
1
1
 16  16  4
 .
16 2

4
1
POTENCIAÇÃO EM R
Propriedades das potências de expoentes racionais
Obedecidas as condições de existência, são as seguintes:
I . a m  a n  a mn
II. a m  a n  a m  n
III. (a m ) n  a mn
IV . (a  b)  a  b
n
n
n
a a
V.    n .
b b
m , n racionais.
n
n
POTENCIAÇÃO EM R
4. Potência de base real e expoente irracional
As propriedades válidas para os expoentes racionais também
valem para expoentes irracionais.
O cálculo de uma potência com expoente irracional dá-se de
forma aproximada, com uso de calculadoras científicas, com a
aproximação desejada.
Exemplos:
3 3
 4,707
2 2
 8,815
2

1, 41
3,14
Observação: um número irracional elevado a outro irracional
2
2
pode ser racional. Uma prova disso é 
3   3.


 
Aplicações das propriedades
Escrevendo em forma de potência de base 5.
a )125  53
b) 5  5
1
2
c)3 25  3 52  5
2
3
2 1
  51
d )0,2 
10 5
e)5 0,2  5 51  5

1
5
6
6
2
64
 2  1
 6        56
f )0,000064
1.000.000 10  10   5 
6
Aplicações das propriedades
Simplificando expressões:
2n2  2n
E
3  2 n 1
2 n  2 2  2 n 2 n (2 2  20 ) 4  1 1
E


 .
n
1
n
3 2  2
6 2
6
2
Observeque o resultado não depende de n.
Aplicações das propriedades
Simplificando expressões:
3n  2  3n 1
E
n 1
23
n2
n 1
3
3
E

n 1
n 1
23
23
1 n  2  n 1 1
E  3

2
2
3 1
E 
2 2
E2
O resultado não depende de n.
Aplicações das propriedades
Simplificando expressões:
2n 4  2n3
E
3  2n3  2n3
Vamos promoveras devidas separações:
2 n  2 4  2 n  23
E
3  2 n  23  2 n  23
Façamos2 n  x :
16x  8 x
E
24x  8 x
24x
E
16x
3
E  (Observenovamenteque o resultado não depende de n.)
2
Essa constatação tem uma aplicaçãofant ásticanessa simplificação.
Aplicações das propriedades
Simplificando expressões:
2n4  2  2n
(Faculdade Sant o André - SP )Simplifique
.
n3
2 2
Como o resultado não depende de n, vamosescolherum valorqualquer
para n e calcular a expressão.
T omemosn  0, para que o menordos expoentesseja nulo.
2n 4  2  2 n 20 4  2  20

n3
2 2
2  203
16  2

28
14

16
2n4  2  2n 7

n3
2 2
8
Exercício zero: simplifique a expressão.
2
2 2
2 n  2  2 n 1
n4
n2
n 1
1. Calcule 22 – 32.
2. Encontre x – y sabendo que x = 2 – (1 – 22)2 e y = (33 – 50) + 150.
3. Verifique se (– a)m = – am.
4. Para que valores de m tem-se (– a)m = – am?
5. Verifique se (a + b)m = am + bm.
6. Escreva na forma de uma única potência:
a) x10 . x5
b) y2  y – 2
c) (a2) – 3
7. Escreva em forma de produto de potências:
a) 2x+4
b) 31 + 4x
8. Calcule os valores das expressões:
2
1
2
1
 1
a) A          
3
2
 4
2
b) B  (0,25)  2  (0,5) 3  (0,125) 1
9. Transforme em potência de base 2:
a )16
f ) 32
b)3 16
c)0,25
d )0,125
g )5 0,125
i)2 2
e) 4 8
j ) 43 4
h)1283
RADICIAÇÃO EM R
Sendo a um número real não-negativo e n um número inteiro
positivo, define-se:
n
a  b  bn  a e b  0, comb  R.
Sendo a um número real positivo e n um número inteiro
positivo, define-se:
n
 a  b  b  a, comb  R
n
Exem plos:
3
8  2, pois 23  8
144  12, pois122  144
3
 1  1, pois -1  1
5
 32  2, pois -2   32
3
5
RADICIAÇÃO EM R
As propriedades dos radicais para radicando não-negativos,
obedecidas as condições de existência, são as seguintes:
I . a  b  ab
n
n
n
n
a n a
II. n 
b
b
III.
IV .
V.
np
a  a
kp
n
 a 
n
n k
k
n
a  a
nk
k
a
k
10. (UFRN) 13  7  2  4 é igual a:
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
11. (Cesgranrio) Um número real que satisfaz
a) 5,7
b) 5,8
c) 6
d) 6,3
e) 6,6
35  x  39 é :
12. (UFRN)O número que devemos adicionar a 5 para obter o
quadrado de 2  3 é :
a) 2
b) 6
c)2 2
d )2 3
e) 2 6
13. (UFGO) O número 18  8  2 é igual a :
a) 8
b) 4
c )0
d ) 10  2
e) 18  6
14. O valor da expressão ( 1/4)0,5:(1/32)0,2 é:
a) 0,125
b) 0,25
c) 0,5
d) 0,75
e) 1
15. (FUVEST) O valor da expressão 2  2 é :
2 1
a) 2
b)
1
2
c)2
1
d)
2
e) 2  1
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
Se a x  a y , com 0  a  1, então
x y
Ex.1) 2 x  32  2 x  25  x  5
3
Ex.2) 4  8  2  2  2 x  3  x 
2
x
x
x
3
3
3
Ex.3) 3  27  3  3   3  x  9
3
Ex.4) 8 x  2  16x 1  23( x  2 )  2 4 ( x 1)  3x  6  4 x  4
x
 
 x  10
2x
3
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
x
x
x
3
8
2
3
3
3 2
Ex.5)   
   3    
27  2 
3
2
2 3
As bases não são iguais, mas são inversas.P odemosfazer:
3
3
x
3 3
      x  3
2 2
Ex.6) 3
3
x 1
x 1
2
 
x 1
2
2
x 1
2
5
5
4x


 9 3  3  3  3


4x
x 1 4x
5
5
3 

 8x  5x  5  x  
2
5
3
5
x
2
2x
16.Encontre o valor de x em cada caso.
a ) (0,25) x  8
b) 16x  32
c) 2 x  2 2
d ) 2  x  43 2
e) 27x  3
17.Encontre o valor de x em cada caso.
f ) 92 x  3
g )31 x  3 9
h) 3
x
1
2
 27
i ) 3 3 x  3 81
j )5 81x  3
18.Encontre o valor de x em cada caso.
x
 3   25 
l)     
5  9 
x 1
x
 1 
m)    642 x 1
 32 
2
 1 
o) 
  0,000064
1 2 x
 125 
OUTRAS EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
3 x  3 x 1  36
Pondo 3x em evidência :


3 x 1  31  36
x
4
3    36
3
3
Multiplicando ambos os membros por :
4
3
x
3  36 
4
3 x  27  x  3
S  {3}
3.2
x 1
 2.2  8
x
 3.2
x 1
2
 4.2
x 1
8
x 1
2 2
x0
S  {0}
x 1
8
1
1
x
7  x  8 77  x  8
7
7
1
x
 7  y  0  7y   8
y
1 x
1
 7 y  8 y  1  0  y  1 ou y 
7
1
x
x
Assim,7  1  x  0 ou 7   x  1.
7
S  {1, 0}
2
A FUNÇÃO EXPONENCIAL
Noções teóricas
f : R  R, definida por f ( x)  a x , a  R e 0  a  1
f : R  R, definida por f ( x)  a x , a  R e 0  a  1
Para a  1, temos a > a  x2  x1.
x2
a
x2
a
x1
x1
x1
x2
Para 0< a < 1, temos a  a  x1  x2 .
x1
x2
x1x1
aa
x2
x2
a
a
x1
x2
EXERCÍCIOS: COMPLETE ADEQUADAMENTE COM > OU <.
a )2 x  2 4  x 4
x
3
1 1
b)      x 3
2 2
c)5 x 1  53  x  1 3
1
d ) 
5
2x
2
1
    2 x 2
5

 

 
x
e) 5  1 
x
f ) 2 1 

5 1
4

2 1
 x  4
4
 x  4