UNIDADE II - CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE ÁLGEBRA E ARITMÉTICA
1. Potenciação e propriedades;
2. Radiciação e propriedades
3. Expressões algébricas
4. Operações com expressões algébricas
5. Fatoração e produtos notáveis
1. POTENCIAÇÃO
A potência de expoente n ( n∈N e n>1) do número a é o produto de n fatores iguais a a. O
número a é dito base e o número n é dito expoente.
Notação: 𝒂𝒏
𝑎 ! = a × a × a × ... ×a
(n fatores iguas a a)
Propriedades das Potências
• Toda potência de base a ≠ 0, elevada a expoente par, é positiva.
• Toda potência de base a ≠ 0, elevada a expoente ímpar, tem o sinal da base.
Operações com Potências
a) Multiplicação de potências de mesma base: repete-se a base e soma-se os
expoentes.
𝑎 ! . 𝑎 ! =𝑎 !!!
b) Divisão de potencias de mesma base: repete-se a base e subtrai-se os expoentes.
𝑎𝑚
=𝑎 !!!
𝑎𝑛
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c) Potenciação: repete-se a base e multiplicam-se os expoentes.
(𝑎! )! = 𝑎!.! d) 𝑎! = 1, qualquer que seja a base a
e) Potenciação de um produto:
(𝑎. 𝑏)! = 𝑎! . 𝑏 !
f) Potenciação de um quociente:
𝑎
𝑏
𝑎!
= !
𝑏
!
g) Todo número a≠0 elevado a um expoente negativo é igual ao inverso desse
número elevado ao simétrico do expoente.
𝑎
!!
1
=
𝑎
!
=
1
𝑎!
2. RADICIAÇÃO
A raiz de índice n de um número a é o número b quando 𝑏 ! = 𝑎.
Notação:
𝒏
𝒂=𝒃
• O índice n é um número inteiro maior que 1
• O número a é o radicando.
Expoente fracionário:
𝒏
𝒎
𝒂𝒎 = 𝒂 𝒏
Propriedades dos radicais
a) Raiz de um Produto: é igual ao produto das raízes.
!
𝑎. 𝑏 =
!
!
𝑎. 𝑏
b) Raiz de uma divisão: é igual a raiz do numerador dividida pela raiz do denominador.
!
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𝑎
=
𝑏
!
𝑎
!
𝑏
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c) Quando multiplicamos ou dividimos o índice do radical e o expoente do radicando por
um número m≠0, a raiz não se altera.
!
𝑎! =
!.!
𝑎!.!
d) Radicais semelhantes: possuem o mesmo índice e o mesmo radicando.
Operações com radicais
a) Adição e Subtração (radicais semelhantes): conserva-se a raiz e soma-se os coeficientes.
𝑎 + 𝑎 = 2 𝑎
b) Multiplicação e Divisão (mesmo índice): conserva-se o índice e multiplicam-se/
dividem-se os radicandos.
𝑎 × 𝑎 = 𝑎×𝑎
c) Multiplicação e Divisão (índices diferentes): reduz-se ao mesmo índice.
d) Potenciação: conserva-se o índice e eleva-se o radicando ao expoente.
e) Radiciação: conserva-se o radicando e multiplica-se os índices.
3. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
Termo Algébrico (monômio): produto entre incógnitas ou produto entre números e incógnitas.
Exemplo:
𝟓𝒙𝒚𝒛
𝟓: 𝒄𝒐𝒆𝒇𝒊𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆
𝒙𝒚𝒛: 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆 𝒍𝒊𝒕𝒆𝒓𝒂𝒍
Grau de um monômio (definido quando todos os expoentes são números inteiros): soma dos
expoentes.
𝟐𝒙𝟐 𝒚𝟓 𝒛 grau: 2+5+1=8
Expressão Algébrica: Soma ou subtração de termos algébricos.
Valor Numérico de expressão algébrica: é o valor obtido quando atribuímos às incógnitas os
valores dados.
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Exemplo: Para x=3, temos como valor numérico da expressão 𝟐𝒙𝟐 = 𝟐(𝟑)𝟐 = 𝟏𝟖
Monômios semelhantes: mesma parte literal.
Operações com Monômios
a) Adição e Subtração (monômios semelhantes): repete-se a parte literal e somam-se/
subtraem-se os coeficientes
b) Multiplicação e Divisão: multiplicam-se/dividem-se as partes literais e os coeficientes.
Classificação de Expressões Algébricas
a) Racionais: Não aparece incógnita dentro da raiz ou elevado a expoente fracionário.
b) Racionais Inteiras: Não aparece incógnita no denominador ou elevado a expoente
negativo.
c) Racionais Fracionárias: Aparece incógnita no denominador ou elevado a expoente
negativo.
d) Irracionais: Aparece incógnita dentro da raiz ou elevado a expoente fracionário.
POLINÔMIOS: expressões algébricas racionais inteiras.
Operações com Polinômios
a) Adição e Subtração: adicionam-se/subtraem-se os termos semelhantes.
b) Multiplicação: multiplicam-se cada termo de um polinômio por todos os termos do
outro polinômio, e, a seguir, reduzem-se os termos semelhantes.
c) Divisão.
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4. PRODUTOS NOTÁVEIS
Quadrado da soma
(a+b)2 = a2 + 2 ab + b2
Quadrado da diferença
(a-b)2 = a2 - 2 ab + b2
Produto da soma pela
diferença
(a+b)(a-b) = a2-b2
Cubo de uma soma
Cubo de uma diferença
Quadrado da soma de três
termos
Soma do cubo de dois termos
Diferença do cubo de dois
termos
Produto de Stevin
(a+b)3= a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3
(a-b)3= a3 - 3 a2b + 3 ab2 - b3
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
(x+a)(x+b) = x2+ (a+b) x +ab
Quando xn for impar teremos
x n − k n = ( x − k )(x n−1 + x n−2 k + x n−3 k 2 + ! + k n−1 )
ax2+bx+c=a(x-r1)(x-r2) onde r1 e r2 são
raízes da equação ax2+bx+c=0
5. FATORAÇÃO
Fatorar é transformar uma soma de uma ou mais parcelas num produto de um ou mais fatores.
a) Fator comum (evidência)
Exemplos: a + ab = a (1+b) , a2+ab =a(a+b)
b) Agrupamento:
Exemplo: ax + bx + ay + by = x (a+b) + y (a + b) = (a + b) (x + y)
c) Produtos notáveis. (vide tabela)
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Exercícios
1. O valor da expressão
2. A expressão
!
!"
(!!)! !!! !
!"! !"
!
!"! !"#
! !
!
!(!!) !!
é:
é igual a:
!
3. O valor de 𝑎𝑏 ! − 𝑎 ! para 𝑎 = − e 𝑏 = 2𝑥
!
4. Considere o polinômio 𝑃 𝑥 = 4𝑥 ! + 3𝑥 ! − 2𝑥 ! + 𝑥 + 𝑘. Sabendo que P(1) = 2,
então o valor de P(3) é:
5. Adicione os polinômios 7𝑥 ! 𝑦 ! + 𝑥 ! 𝑦 − 2 e −𝑥 ! 𝑦 ! − 5𝑥 ! 𝑦 + 3𝑥 ! 𝑦 ! + 9:
6. Multiplique o polinômio 𝑚! − 𝑚! + 𝑚! − 𝑚 + 1 pelo polinômio 𝑚 − 1
7. Fatore 𝑐 ! − 2𝑏𝑐 − 𝑎! + 𝑏 !
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Solução dos Exercícios:
1. O valor da expressão
2. A expressão
!
!"
!"! !"
!
!"! !"#
(!!)! !!! !
!(!!) !!
! !
!
é:
é igual a:
!
3. O valor de 𝑎𝑏 ! − 𝑎 ! para 𝑎 = − e 𝑏 = 2𝑥
!
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4. Considere o polinômio 𝑃 𝑥 = 4𝑥 ! + 3𝑥 ! − 2𝑥 ! + 𝑥 + 𝑘. Sabendo que P(1) = 2, então o
valor de P(3) é:
P(1)=4.1 + 3.1 – 2.1 + 1 + k =2
4 + 3 – 2 + 1+ k = 2
10 + k = 2
k=2–6
k=–4
O polinômio será P(x) = 4x4 + 3x³ + 2x² + x – 4
P(3) = 4x4 + 3x³ + 2x² + x – 4
P(3) = 4.81 + 3.27 – 2.9 + 3 – 4
P(3) = 324 + 81 – 18 + 3 – 4
P(3) = 386
5. Adicione os polinômios 7𝑥 ! 𝑦 ! + 𝑥 ! 𝑦 − 2 e −𝑥 ! 𝑦 ! − 5𝑥 ! 𝑦 + 3𝑥 ! 𝑦 ! + 9
6. Multiplique o polinômio 𝑚! − 𝑚! + 𝑚! − 𝑚 + 1 pelo polinômio 𝑚 − 1
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7. Fatore 𝑐 ! − 2𝑏𝑐 − 𝑎! + 𝑏 !
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