Objetivo
Nosso objetivo é desenvolver uma proposta
de aula simples, utilizando alguns
recursos do software graphmatica (na
verdade o utilizaremos apenas para a
construção e comparação de gráficos),
que possa ser adotada por qualquer
professor de matemática que tenha a sua
disposição um laboratório de informática
(e um pouco de boa vontade).
A idéia é desenvolver uma alternativa para a
construção de gráficos, além daquela que
é usualmente vista nas escolas, onde os
alunos constroem o gráfico a partir de
uma tabela com alguns pares ordenados,
uma vez que essa medida é suscetível ao
erro, pois, por exemplo, o gráfico de y = x³
poderia ser confundido com o gráfico da
reta y = x, se considerarmos apenas os
pares ordenados (0,0), (1,1) e (-1,-1).
Para Quem?
Preparamos essa proposta pensando no
primeiro ano do Ensino Médio, sendo ela
um complemento ao estudo de funções.
No entanto, vale ressaltar que nessa aula
não seriam abordados conceitos de
funções como relação entre variáveis,
domínio e imagem, sendo esses
conhecimentos prévios para esta aula.
A Proposta
Nossa proposta é desenvolver uma
atividade simples para auxiliar os alunos
na compreensão dos gráficos de funções
quadráticas.
Partindo de uma função-mãe (y=x²), iremos
usar translações, compressões,
alongamento e reflexões no gráfico desta
função, chegando assim em qualquer
gráfico de função quadrática.
Trabalharemos apenas com funções
quadráticas, pois acreditamos que com
elas já é possível desenvolver os
conceitos envolvidos na construção das
demais funções.
Para desenvolvermos esta proposta,
usaremos o método de completar
quadrados, o que comumente não é
ensinado nas escolas, que acabam
ensinando apenas o método da Fórmula
de Bhaskara para encontrar as raízes das
funções. Acreditamos que esse método
pode facilitar a compreensão tanto das
funções quanto de seus gráficos,
característica que a Fórmula de Bhaskara
não atinge.
Recurso
Para desenvolver esta proposta, iremos
utilizar o recurso do Graphmatica, que é
de grande auxílio visual, na medida em
que mostra claramente as diferenças
entre os gráficos das funções em relação
ao gráfico da função-mãe, y=x².
No caso dos gráficos que sofrem um
alongamento ou uma compressão, por
exemplo, essas alterações são bastante
visíveis com o recurso do software, o que
pode não ser tão evidente ou ser menos
preciso se feito à mão. Outra vantagem é
a rapidez com que o gráfico é feito, pois
se feito a mão, o tempo despendido para
realizar tal tarefa, talvez desviasse o foco
do objetivo, que é a comparação dos
gráficos.
Exercícios Propostos
1) Reconhecimento do programa
Inicialmente iremos propor aos alunos
um momento de contato com o
programa para que, aqueles que não o
conhecem, possam reconhecer suas
funções básicas, bem como sua
linguagem.
2) Desenhe o gráfico da função y = x².
3) Como você imagina que seria o gráfico
da função y = x² + 1 ?
Desenhe o gráfico e veja se sua
suposição estava correta. Qual foi a
modificação que ocorreu? Tente explicar o
porquê desta alteração.
4) Faça o mesmo para as seguintes
funções, comparando-as com y = x².
a) y = x² + 2
b) y = x² – 2
c) y = x² – 1
5) Como você espera que seja o gráfico da
função y = x² + k, sendo k um número
inteiro qualquer?
É esperado, com estes exercícios, que os
alunos percebam que k é o parâmetro de
deslocamento vertical do gráfico de
y = x² + k.
Os gráficos das funções dos exercícios 2 ao 4 são:
6) Queremos, agora, entender o que
acontece quando multiplicamos a função y =
x² por uma constante. Para isso, compare o
gráfico das seguintes funções com o gráfico
de y = x² e escreva as modificações
ocorridas em cada um deles.
a) y = -x²
b) y = 2x²
c) y = -2x²
d) y = 1/3x²
e) y = -1/3x²
g) y = 1/6x²
h) y = 5x²
i) y = 10x²
j) y = kx²
Os gráficos das funções do exercício 6 são:
É esperado que com este exercício os alunos
percebam que o parâmetro k
causa:
reflexão em torno do eixo x quando
k<0, um alongamento do gráfico de
y = x² quando |k| >1 e ainda uma
compressão do mesmo, quando
0 < |k| < 1.
Antes de seguir para o próximo exercício,
mostraremos no quadro a técnica de
completar quadrados, para que os alunos
consigam transformar funções do tipo
y = x² + bx + c em funções do tipo
y = k(x + m)² +h .
7)Reescreva as funções a seguir,
completando quadrados.
a) y = x² + 4x + 4
b) y = x² - 2x + 1
c) y = x² + 6x + 9
d) y = x² - 8x + 16
8) A partir de suas respostas, como você
imagina que serão os gráficos das
funções acima? Utilize o Graphmatica
para verificar suas deduções. Compare,
então, cada um dos itens do exercício
anterior com o gráfico de y = x² e escreva
as modificações ocorridas.
Os gráficos das funções do exercício 8 são:
9) Ao compararmos o gráfico de y = x² com
o de y = (x + k)², sendo k um número
inteiro, qual a modificação esperada?
É esperado que os alunos percebam que k
é o parâmetro responsável pelo
deslocamento horizontal da função.
10) Utilizando todos os conceitos vistos
nos exercícios anteriores, esboce as
seguintes funções quadráticas, utilizando o
gráfico da função y=x² para se basear.
a) f(x) = 2x2 +1
b) f(x) = x²/4 – 4
c) f(x) = x² - 2x + 2
d) f(x) = 2x² - 4x
Com essa lista de exercícios é esperado
que o aluno utilize o software
graphmatica e empiricamente possa
fazer deduções sobre a relação entre os
gráficos e as equações de suas
respectivas funções.
REFERÊNCIAS
•Carneiro,Vera Clotilde. Funções Elementares.
Porto Alegre-Editora da Universidade / UFRGS,1993.
•Doering A.M.S., Doering L.R., Sant’Ana A. A.,
Sant’Ana M. F., Brietzke, Búrigo, Branco, Nácul,
Fachin, Kraemer. Apostila de Pré-Cálculo-Programa
Pró-Cálculo – Instituto de Matemática-UFRGS-2007.
•Lima E.L., Carvalho P. C. P., Wagner E., Morgado A.
C. A Matemática do Ensino Médio: volume 1Nona edição - Rio de Janeiro: SBM, 2006.