Questão 18
CURSO E COLÉGIO
Sejam 𝑎 e 𝑏 reais. Considere as funções quadráticas da forma 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 ! + 𝑏𝑥 + 𝑐, definidas
para todo 𝑥 real.
a) Sabendo que o gráfico de 𝑦 = 𝑓(𝑥) intercepta o eixo 𝑦 no ponto (0,1) e é tangente ao eixo 𝑥,
determine os possíveis valores de 𝑎 e 𝑏.
b) Quando 𝑎 + 𝑏 = 1, os gráficos essas funções quadráticas têm um ponto em comum.
Determine as coordenadas desse ponto.
Resposta
CURSO E COLÉGIO
a) 𝑓 passa por (0,1). Nesse caso, temos que 0! + 𝑎0 + 𝑏 = 1 ⇔ 𝑏 = 1 1
como a parábola é tangente ao eixo 𝑥, segue que Δ = 0, isto é: 𝑎 ! − 4𝑏 = 0 ⟺ 𝑎 ! = 4𝑏 (2)
Substituindo 1 em (2), temos que 𝑎 ! = 4 ⇔ 𝑎 = ±2 Resposta: 𝑎 = −2 𝑒 𝑏 = 1 𝑜𝑢 𝑎 = 2 𝑒 𝑏 = 1
b) Sejam as parábolas 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 ! + 𝑏𝑥 + 𝑐, tais que 𝑎 + 𝑏 = 1. Para todos os reais 𝑎 e 𝑏 que
satisfazem 𝑎 + 𝑏 = 1, afirmamos que 𝑓 1 = 2. De fato: 𝑓 1 = 1! + 𝑎 ∙ 1 + 𝑏 = 1 + 𝑎 + 𝑏 = 2.
Logo, o ponto em comum entre essas funções quadráticas possui coodernadas 𝑥 = 1, 𝑦 = 2.
Resposta: (1,2)