Nova School of Business and Economics
Apontamentos Álgebra Linear
7 – Formas Quadráticas
1
Forma quadrática em
Definição
variáveis (
)
Função polinomial, de grau , cuja expressão tem apenas termos de grau .
(
)
Ex. 1:
(
)
é uma forma quadrática em
variáveis porque a sua expressão é um polinómio em
cujos termos são apenas de grau . Neste caso,
Ex. 2:
(
,
e
e
.
)
não é uma forma quadrática porque um dos termos da sua expressão,
, não é de
grau .
2
Classificação de formas quadráticas
Classificação
Uma forma quadrática é classificada como semi-definida positiva (negativa) se for não
negativa (não positiva) em qualquer vector. Se, para além disso, for positiva (negativa) em
qualquer vector não nulo, é também classificada como definida positiva (negativa). Se
houver pelo menos um vector em que é positiva e pelo menos um em que é negativa, é
classificada como indefinida.
é:
̅
Definida positiva:
( )
Semi-definida positiva:
̅
Definida negativa:
( )
Indefinida:
(
(
)
( )
( )
Semi-definida negativa:
Ex. 1:
( )
( )
)
(
)
(
)
(
)
1
Apontamentos Álgebra Linear
7 – Formas Quadráticas
Ex. 2:
8
(
(
)
(
)
(
(
*(
)
(
(
(
(
)
(
)
8
)
3
+
(
(
)
(
)
)
(
+
)
(
(
)
)
)
)
)
)
(
(
(
)
)
*(
(
*(
)
)
(
Ex. 4:
Ex. 5:
)
(
)
(
+
(
)
Ex. 3:
8
)
*(
(
)
)
)
+
(
)
)
)
Formas quadráticas definidas e semi-definidas
Facto
Todas as formas quadráticas definidas positivas (negativas) são também semi-definidas
positivas (negativas), mas nem todas as formas quadráticas semi-definidas positivas
(negativas) são também definidas positivas (negativas).
Ex. 1:
(
)
(
)
Ex. 2:
2
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
)
(
)
Apontamentos Álgebra Linear
7 – Formas Quadráticas
(
)
(
(
)
)
4
Classificação de formas quadráticas com expressões sem termos
Facto
cruzados
A classificação de formas quadráticas cuja expressão não tem termos cruzados pode ser feita
directamente através da observação do sinal dos coeficientes dos termos da sua expressão.
(
é:
)
*
Definida positiva
+
*
Semi-definida positiva
*
Definida negativa
+
*
Semi-definida negativa
*
Indefinida
Ex. 1:
(
(
8
(
(
(
)
(
)
(
8
(
)
Matriz (
)
(
+
)
(
)
(
)
(
(
+
)
)
*(
(
5
(
)
)
Ex. 3:
+
)
)
Ex. 2:
+
*(
)
(
)
+
(
)
)
)
Definição
Matriz simétrica associada a uma forma quadrática
(
)
) formada a partir dos coeficientes dos termos da expressão de .
)
3
Apontamentos Álgebra Linear
7 – Formas Quadráticas
*
{
+
*
+
[
Ex.:
(
)
[
6
]
Expressão de formas quadráticas e forma matricial
Facto
A expressão da forma quadrática
produto de
por
(
pode ser escrita na forma matricial como o
por , por esta ordem.
)
,
-
[
[
Ex.:
(
]
]
)
,
-
6 7
[
4
]
]
(
)
Apontamentos Álgebra Linear
7 – Formas Quadráticas
7
Mudança de variável associada a uma matriz não singular
Definição
de
uma forma quadrática
Alteração da expressão de , passando esta a depender de uma nova variável, , em vez da
variável original, , tal que
.
| |
( )
:
( )
Ex.:
(
(
)
( )
)
,
[
]
-[
[
]
6 7
[
6 7
(
)
(
)
(
)
(
]6 7
)(
(
(
]
[
][
[
[
]
]
)
)
,
-[
][
]6 7
]
)
(
)
(
)
)
[
(
]6 7
[
(
(
]6 7
)
(
)
)
(
)
(
(
)
)
(
)
5
Apontamentos Álgebra Linear
7 – Formas Quadráticas
8
Matriz ortogonal e vectores ortonormados
Facto
Uma matriz é ortogonal se e só se as suas colunas forem ortonormadas (mutuamente
ortogonais e com norma ).
,
*
8
[
Ex.:
]
.
〈
〉
〈(
) (
〈
〉
〈(
) (
〈
〉
〈(
{
9
*
〈
+‖
/
.
‖
〈
〉
〉
/
)〉
)〉
‖
)〉
) (
+
‖
‖
‖
Matrizes diagonalizáveis, matriz diagonal e vectores próprios
Facto
ortonormados
Seja
, a matriz de transformação de uma transformação linear
diagonalizável. Então,
de
se e só se
é uma base de
, uma matriz
constituída por vectores próprios ortonormados
é uma matriz diagonal cujos elementos da diagonal principal são os
valores próprios de , repetidos e ordenados de acordo com a ordenação dos vectores de ,
e , a matriz cujas colunas são os vectores de , é ortogonal.
,
-
*
[
]
*
Ex.:
(
+
)
(
6
+
8
(
)
[
)
*(
)(
)+
]
Apontamentos Álgebra Linear
7 – Formas Quadráticas
(
√
4
{*
)
*(
√
√
5
)+
√
4
+
√
〈
8
5
4
√
√
√
5
〉
* +
‖ ‖
‖ ‖
‖ ‖
*
+
√
√
√
√
√
√
√
√
[
]
[
10
]
[
]
Mudança de variável e eliminação de termos cruzados de formas
Facto
quadráticas
Qualquer forma quadrática
tem uma expressão sem termos cruzados, obtida
através da mudança de variável
, sendo
uma matriz cujas colunas são vectores
próprios ortonormados da transformação linear cuja matriz de transformação é
caso, a expressão de
na variável
. Neste
tem como coeficientes os valores próprios da
transformação linear cuja matriz de transformação é
, repetidos e ordenados de acordo
com a ordenação dos vectores que formam as colunas de .
*
+
,
-
*
[
( )
+
]
(
)
( )
7
Apontamentos Álgebra Linear
7 – Formas Quadráticas
Ex.:
(
)
(
)
,
(
[
)
(
)
*(
(
)
*(
√
4
√
*
]6 7
]
)+
)(
(
5
-[
)+
)
√
4
√
5
+
√
√
√
√
[
]
√
√
√
6 7
6 7
√
√
[
(
√
√
]
√
[
]
)
4
√
√
5
,
11
4
√
-[
√
54
√
√
5
4
(
]6 7
√
√
5
)
Algoritmo para a realização de uma mudança de variável de uma
forma quadrática
que elimine os termos cruzados da sua expressão
1
Algoritmo
Representação da expressão de
,
( ), na forma matricial: A partir da forma
polinomial de ( ), encontrar a forma matricial que lhe é equivalente,
2
Determinação dos valores e vectores próprios da transformação linear cuja matriz
de transformação é
: Encontrar os valores próprios de
linear cuja matriz de transformação é
3
Definição de uma base de
próprio de
, a transformação
, e os subespaços próprios de .
constituída por vectores próprios ortonormados da
transformação linear cuja matriz de transformação é
8
.
: Escolher, de cada subespaço
, um número de vectores próprios ortonormados igual à multiplicidade
Apontamentos Álgebra Linear
7 – Formas Quadráticas
algébrica do valor próprio de
base de
que lhe está associado e reuni-los todos num conjunto
. Aproveitar o facto de
,
ser uma matriz real e simétrica para a ortogonalidade
de vectores de subespaços próprios diferentes, e o facto do produto de qualquer vector não
nulo de
pelo inverso da sua norma ser um vector com norma , para a normalização dos
vectores. Para conseguir a ortogonalidade de vectores do mesmo subespaço próprio, se
necessário, recorrer à ortogonalização de Gram-Schmidt.
Exibição da mudança de variável: Escrever , a matriz cujas colunas são os vectores
4
da base
, que permite efectuar a mudança de variável, e encontrar a relação entre as
coordenadas de qualquer vector de
apresentando a igualdade
na variável
.
Apresentação da expressão de
5
na variável
matricial e polinomial, da expressão de
Ex.:
(
e as suas coordenadas na variável ,
( ): Especificar as formas,
,
na variável .
)
Representação da expressão de , ( ), na forma matricial:
1
(
)
,
[
-[
]6 7
]
Determinação dos valores e vectores próprios da transformação linear cuja matriz
2
de transformação é
:
Valores próprios:
|
|
(
|
) (
)
*
(
|
+
(
*
)
+
(
*
)|
|
),(
)
-
]6 7
[ ]
{
|
|
+
Vectores próprios:
(
̅
)
*(
)
[
+
*(
)(
{
)+
9
Apontamentos Álgebra Linear
7 – Formas Quadráticas
(
̅
)
*(
[
]6 7
)
+
*(
Definição de uma base de
3
[ ]
)
‖
‖
‖
‖
‖
{*
‖
4
(
√
√
(
constituída por vectores próprios ortonormados da
4
√
)
:
(
)
√
√
‖ ‖
5
)
{
)+
transformação linear cuja matriz de transformação é
(
{
‖ ‖
√
‖ ‖
5
+
〈
8
〉
〈4
5 (
)〉
* +
*
+
84
√
√
5 (
)4
√
√
59
Exibição da mudança de variável:
4
√
√
√
√
[
]
√
6 7
√
( )
Apresentação da expressão de
(
)
( )
10
6 7
√
[
5
√
√
√
]
√
√
[
]
na variável , ( ):
,
-[
]6 7
Apontamentos Álgebra Linear
7 – Formas Quadráticas
12
Classificação de formas quadráticas e valores próprios
Facto
A classificação de qualquer forma quadrática pode ser feita através da observação do sinal
dos valores próprios da transformação linear cuja matriz de transformação é a matriz
simétrica que lhe está associada.
*
*
Definida positiva
*
(
*
*
Ex. 2:
*
*
-0
{
}
{
}
)
+
{
}
10 1
+ 8
*
-0
10 1
+ 8
,
+
(
}
)
*
Ex. 5:
{
10 1
+ 8
,
+
(
*
)
*
Ex. 4:
}
-0
,
+
(
{
)
*
Ex. 3:
+
,
+
(
+
)
*
é:
+
Semi-definida negativa
Indefinida
+
+
*
Definida negativa
*
+
Semi-definida positiva
Ex. 1:
+
-0
*
+ 8
,
-0
*
+ 8
10 1
10 1
11
Apontamentos Álgebra Linear
7 – Formas Quadráticas
13
Definição
matriz
Menor de ordem
(
) de
cujos índices pertencem a *
[
| |
de uma
que se obtém eliminando as linhas e colunas de
| |
|
|
Ordem :
| |
|
Definição
| |
|
|
|
Menor principal de ordem
de uma matriz
referente aos índices
matriz (
que se obtém eliminando as últimas
) de
|
|
Menor de ordem
[
,
,
e
(
)
de . Determinante da sublinhas e colunas de .
]
|
|
[
]
| |
Ordem :
Ordem :
|
|
Ordem :
| |
|
15
e
+.
Ordem :
Ex.:
,
]
Ordem :
14
,
)
Determinante da sub-matriz (
Ex.:
referente aos índices
Facto
|
Classificação de formas quadráticas e menores
A classificação de qualquer forma quadrática pode ser feita através da observação do sinal
dos menores da matriz simétrica que lhe está associada.
12
Apontamentos Álgebra Linear
7 – Formas Quadráticas
é:
Definida positiva
Semi-definida positiva
Definida negativa
Semi-definida negativa
Indefinida
Ex. 1:
(
*
Ex. 2:
+
(
*
Ex. 3:
Ex. 5:
*
,
2
(
(
,
2
)
+
2
10 1
*
+ 8
-0
10 1
*
+ 8
-0
3
+ 8
-0
3
,
10 1
*
3
)
10 1
+ 8
-0
,
2
+
*
3
)
+
-0
3
)
(
*
,
2
+
*
Ex. 4:
)
10 1
*
+
13
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7 – Formas Quadráticas
16
Facto
Classificação de formas quadráticas e menores principais
Pode ser possível classificar uma forma quadrática através da observação do sinal dos
menores principais da matriz simétrica que lhe está associada.
é:
Definida positiva
Definida negativa
Indefinida
Ex. 1:
(
)
*
Ex. 2:
+
(
*
14
-0
*
3
,
+
(
2
)
*
Ex. 3:
,
2
)
3
,
+
2
+ {
-0
*
-0
3
10 1
*
10 1
+ {
10 1
+