CLASSIFICAÇÃO DE FUNÇÕES
FUNÇÃO PAR
Uma função f: D  R dada por y = f(x), é dita PAR se, e somente se:
f(x) = f(-x) para todo x  D.
Por exemplo: a função A→B, com A = {-2,-1,0,1,2} e B = {1,2,5} definida pela
fórmula f(x) = x2 + 1, obedece o seguinte diagrama:
Veja nesse diagrama que os elementos simétricos do domínio, como o 2 e -2,
possuem a mesma imagem. Por isso, essa função é uma função par.
OBS.: Se o gráfico de uma função qualquer for simétrico em relação ao
eixo das ordenadas (y), essa função será classificada como PAR.
FUNÇÃO IMPAR
Uma função f: D  R dada por y = f(x), é dita ÍMPAR se, e somente se:
f(-x) = – f(x) para todo x  D.
Por exemplo: a função A→B, com A = {-2,-1,0,1,2} e B = {-10,-5,0,5,10} definida
pela fórmula f(x) = 5x, obedece o seguinte diagrama:
Veja que os elementos simétricos do conjunto A como -2 e 2 possuem imagens
simétricas.
Por
isso,
essa
função
é
uma
função
ímpar.
OBS.: Se o gráfico de uma função qualquer for simétrico em relação à
origem do plano cartesiano, essa função será classificada como ÍMPAR.
FUNÇÃO NEM PAR NEM ÍMPAR
Uma função f: D  R dada por y = f(x), é dita NEM PAR NEM ÍMPAR se, e
somente se, f(x) = f(-x)
f(-x) = – f(x) para todo x  D.
OBS.: Se o gráfico de uma função qualquer não for simétrico em relação ao
eixo das ordenadas (y) e nem em relação à origem do plano cartesiano,
essa função não se classifica quanto a paridade, não é PAR nem ÍMPAR.
METODO PRÁTICO
Verifique a paridade das funções a seguir:
a) f(x) = x2 + 6
b) f(x) = x3
c) f(x) = 5x + 4
FUNÇÃO SOBREJETORA
f é sobrejetora Im(f) = CD(f)
A função é sobrejetora se a sua imagem for igual ao seu contradomínio.
FUNÇÃO INJETORA
A cada elemento do conjunto A corresponde um elemento distinto do conjunto B.
De modo geral, uma função f : A B é injetora se, e somente se, para todo y B
existe um único x A, tal que y = f(x).
FUNÇÃO BIJETORA
Função é bijetora quando é injetora e sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja,
todos os elementos de B são imagens únicas dos elementos de A.
EXERCÍCIO Iezzi p. 175 e 176
FUNÇÃO INVERSA
Observe, no diagrama de setas abaixo, a função f : A →B | f(x) = x – 5, que
transforma os elementos de A nos de B:
Conclusão: A condição necessária e suficiente para que uma função tenha
inversa é que seja sobrejetora e injetora, ou seja, bijetora. No caso, temos que g
é a função inversa de f.
EXERCÍCIO Iezzi p. 179 e 180
Função Composta
Observando as funções f : x →y | y = x + 1 e
g : y →z | z = y2, representadas por diagramas de setas, notamos que, em f, x
leva a y e, em g, y leva a z:
Mas há uma função que permite “ir direto” de X para Z, sem passar por Y.
Assim, se z = g(y) e y = f(x), então z = g(f(x)) .
Como f(x) = x + 1 e g(y) = y2, temos:
z= g(f(x)) = g(x + 1) = (x + 1)2 = x2 + 2x + 1.
ogo, g(f(x)) = x2 + 2x + 1 é a função que transforma os elementos de X nos
elementos de Z.
Conclusão: A função g(f(x)), que estabelece uma correspondência direta entre X
e Z, sem passar por Y, é a composta de f(x) e g(y).
Exemplos
Dados f(x) = 3x e g(x) = 3x+2, calcular g(f(x)) e fog
Solução:
a) g(f(x))
c) fog = f(g(x))
EXERCÍCIO Iezzi p. 124 a 126