Outras funções: Função composta. Função injetora, sobrejetora e bijetora. Função inversa e
Função simétrica.
Função composta
Sejam f e g duas funções tais que Imf ⊂ Dg. A função dada por
y=g(f(x)), x ∈ Df,
denomina-se função composta de g e f. É usual a notação gof para indicar a composta de g
e f.
OBS:
1. A expressão (gof)(x)=g(f(x)) se lê: “g composta com f”.
2. Em geral, gof≠fog, isto é, a composição de funções não é comutativa.
3. O domínio de gof é o conjunto de todos os valores de x no domínio de f tais que f(x)
está no domínio de g. Em outras palavras, (gof)(x) está definida sempre que tanto
f(x) quanto g(f(x)) estiverem definidas.
Exemplos:
1. Sejam f(x)=2x-3 e g(x)=x2+4. Determine:
a) gof(x)
b) fog(x)
2. Sejam f(x)=x2 e g(x)= x . Determine:
a) gof(x)
b) fog(x)
Exercícios
1)
1
2)
c) f(x) = x e g ( x) = x 2 − 1
Exercícios propostos:
1)
2)
a)
b)
c)
3)
4)
5)
6)
Respostas:
1) B
2) a)
2
b)
c)
3)
4)
5)
6)
3
Função injetora
Uma função f: A → B é denominada de função injetora quando quaisquer elementos
distintos em A, correspondem a imagens distintas em B.
Exemplo: Verifique se as funções dadas a seguir são injetoras.
a) f(x)=3x
b) f(x)= 1/2x
c) f(x)=x2
4
Função sobrejetora
Uma função f: A → B é denominada de função sobrejetora se o contradomínio B é igual ao
conjunto imagem, ou seja, todo elemento de B está relacionado através de f, com algum
elemento de A.
Exemplo: Verifique se as funções dadas a seguir são sobrejetoras.
a) f(x)=3x
b) f(x)=x
5
Função bijetora
Uma função f: A → B é denominada de função bijetora se, e somente se, é
simultaneamente injetora e sobrejetora.
Diz-se que uma função é bijetora se ela tem uma relação um a um.
Ilustração:
Exercícios
1)
6
2)
Função inversa
Uma função f: A→B admite f-1: B→A como sendo a sua inversa se, e somente se for
bijetora. A função f leva o elemento x de A no elemento y de B. A sua inversa f-1 leva o
elemento y de B no elemento x de A.
Exemplo: f(x)=x3-4 é bijetora. Determine sua inversa.
Exercícios propostos
1)
7
2)
3)
4)
Respostas:
1) a)1 b) 1+√y
2) a) (y-3)/2
f) (y+1)3
b) (3y+1)/4
g)
3
c) 3
y−2
d)1+ 3
y−2
3
e) y -2
1− y3
3) Não, pois f não é injetora, por exemplo: f(-1)=f(1)=1, e portanto f não é bijetora.
4) a) (y+2)/12
b) 3
y −3
2
c)
4− y
d)
3+ y
2
e)
y2 − 3
8
Função simétrica
Definição: Seja f-1: B →A a função inversa de uma função f. Se trocarmos, nessa função, a
variável x por y e a variável y por x, teremos uma nova função, que chamaremos função
simétrica.
Exemplos:
OBS: Grande parte da literatura chama essa função g de função inversa da função f.
Geometricamente, os gráficos da função f e da função simétrica g são simétricos em relação
à reta f(x)=x.
Exemplos:
9
Exercícios
1)
2) Assinale o gráfico que representa a função simétrica da função f(x)=3-(3/4)x
10
Exercícios propostos:
1)
a)
b)
2)
Respostas
1) a) D= IR-{2} e Im(f)=IR . Função simétrica é: y=(2x+1)/(1-x)
b)D=IR e Im(f)=IR . Função simétrica: y=x/2 – 5/2.
2)
11
12