CAPÍTULO 1. CURVAS NO E 2 E NO E 3
36
1.12
Exercícios Resolvidos da terceira semana
1. Se uma curva é dada por z 2 = x2 + y 2 e x2 + y 2 + z 2 = 2 com z ≥ 0, determine uma
parametrização regular
Resolução. Temos
½ 2
z = x2 + y 2
x2 + y 2 + z 2 = 2
=⇒ x2 + y 2 = 1 =⇒ x = cos t, y = sen t e z = 1,
logo podemos fazer γ (t) = (cos t, sen t, 1) para t ∈ [0, 2π]
0
0
Como γ (t) = (− sen t, cos t, 0) segue que γ ∈ C 1 ([0, 2π]) e γ (t) 6= 0 para todo t,
então γ é uma parametrização regular da curva. ¤
2. Se γ (t) =
γ.
µ
t + sen t cos t sen2 t cos2 t
, √ , √
2
2 2 2 2
¶
para t ∈ [0, π/4] , determine a r.p.c.a. de
Resolução. Temos
¶
µ
° 0 °
cos t sen t cos t sen t
0
°
°
2
√
γ (t) = cos t,
=⇒ °γ (t)° = cos t
,− √
2
2
logo
s = w (t) =
Z
t
cos σdσ = sen t,
0
assim
t = g (s) = arcsen s, 0 ≤ s ≤
√
2/2,
e a r.p.c.a. de γ é dada por
√
√
¶
µ
√
arcsen s + s 1 − s2 s2
1 − s2
√
, 0 ≤ s ≤ 2/2.
X (s) =
, √ ,
2
2 2 2 2
¤
3. ­Seja X (s) , a ≤ s ≤ b,® uma parametrização natural de classe ≥ 3. Determine
0
00
000
X (s) , X (s) × X (s) em função de k (s) e τ (s) .
Resolução. Temos
0
X (s) = T (s) (pois X é natural),
então
00
0
X (s) = T (s) = k (s) N (s) ,
e
000
0
0
X (s) = k (s) N (s) + k (s) N (s)
0
= k (s) N (s) + k (s) [−k (s) T (s) − τ (s) B (s)]
1.12. EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DA TERCEIRA SEMANA
assim
37
D 0
E
00
000
X (s) , X (s) × X (s) = −k2 (s) τ (s) .
¤
4. Seja γ (t) = (t3 + t + 2, t3+1 , t2 + t) para t ≥ −1/2. Considere s0 tal que t0 = g (s0 ) =
0.
(a) Determine o vetor tangente unitário em s0 .
Resolução. Temos
0
0
γ (t) = w (t) T (s) ,
onde s = w (t) , logo
0
γ (t)
,
T (s) = 0
kγ (t)k
assim
0
1
γ (0)
T (s0 ) = 0
= √ (1, 0, 1) .
kγ (0)k
2
¤
(b) Determine o vetor binormal unitário em s0 .
Resolução. Temos
00
00
0
γ (t) = w (t) T (s) + w (t) k (s) N (s) ,
onde s = w (t) , logo
³ 0 ´2
γ (t) × γ (t) = w (t) k (s) B (s) ,
0
00
0
00
ou seja, γ (t) × γ (t) é um múltiplo positivo de B (s) . Como
00
¡
¢
0
γ (t) = 3t2 + 1, 3t2 , 2t + 1 e γ (t) = (6t, 6t, 2) ,
segue
¤
0
00
γ (0) × γ (0)
° = (0, −1, 0) .
γ (0) × γ (0) = (0, −2, 0) =⇒ B (s0 ) = ° 0
°γ (0) × γ 00 (0)°
0
00
(c) Determine o vetor normal unitário em s0 .
Resolução. Temos
1
N (s0 ) = B (s0 ) × T (s0 ) = √ (−1, 0, 1) .
2
¤