Terceira lista de exercícios - MM4
Funções Vetoriais
Prof. Granero
1) Determine o√domínio
√ das funções vetoriais.
2
a) ~r(t) = ht , t − 1, 5 − ti
b) ~r(t) =
t−2
t+2
î + sen t ĵ + ln (9 − t2 ) k̂
2) Esboce o gráco da curva cuja equação vetorial é dada .
a) ~r(t) = ht4 + 1, ti
b) ~r(t) = ht, cos (2t), sen (2t)i
c) ~r(t) = hsen t, 3, cos ti
3) Encontre uma equação vetorial para o segmento que liga P a Q.
a) P (0, 0, 0), Q(1, 2, 3)
b) P (1, 0, 1), Q(2, 3, 1)
4) Mostre que a curva com equações paramétricas x = t cos (t), y = t sen (t), z = t está
em z 2 = x2 + y 2 , e use este fato para esboçar a curva.
5) Determine
a função vetorial que representa a curva obtida pela intersecção do cone
p
2
2
z = x + y e do plano z = 1 + y .
6) Duas partículas viajam ao longo das curvas espaciais ~r1 (t) = ht, t2 , t3 i e
~r2 (t) = h1 + 2t, 1 + 6t, 1 + 14ti. Responda:
a) As partículas colidem?
b) Suas trajetórias se interceptam?
7) Nas funções vetoriais abaixo:
i. esboçe o gráco da curva plana,
ii. determine ~r 0 e,
iii. desenhe o vetor de posição ~r e o vetor tangente ~r 0 para o valor de t dado.
a) ~r(t) = hcos t, sen ti, t = π4
b) ~r(t) = et î + e−t ĵ , t = 0
8) Determine as derivadas
1a e 2a das funções vetoriais.
√
2
a) ~r(t) = ht , 1 − t, ti
b) ~r(t) = î − ĵ + e4t k̂
c) ~r(t) = at cos (3t) î + b sen3 t ĵ + c cos3 t k̂
1
9) Calcule as integrais:
a)
Z
π
2
(3 sen2 t cos t î + 3 sen t cos2 t ĵ + 2 sen t cos t k̂) dt
0
10) Determine ~r(t) sabendo que ~r 0 (t) = t2 î + 4t3 ĵ − t2 k̂ e ~r(0) = ĵ .
11) Encontre o comprimento da curda dada.
a) ~r(t) = h2 sen t, 5t, 2 cos ti, −10 ≤ 10
12) Ache a velocidade, a aceleração e a rapidez da partícula cuja função posição e dada por:
a) ~r(t) = ht2 − 1, ti, t = 1
b) ~r(t) = et î + e−t ĵ , t = 0
c) ~r(t) = ht2 + 1, t3 , t2 − 1i
d) ~r(t) = h2 cos t, 3t, 2 sen ti
13) Sabendo que a(t) = k̂ , v(0) = î − ĵ , ~r(0) = ~0, encontre os vetores velocidade e posição.
14) A função posição de uma partícula é dada por ~r(t) = ht2 , 5t, t2 − 16ti. Quando sua
rapidez é mínima?
15) A rapidez com que uma bala sai pela boca de um canhão é de 150m/s. Determine dois
ângulos de elevação que podem ser utilizados para atingir um alvo que está a 800m de
distância dele.
16) Um foguete que queima combustível carregado dentro de si enquanto se move no
espaço tem, no instante t. velocidade ~v(t) e massa m(t). Se os gases provenientes da
combustão escapam a uma velocidade de ~ve relativamente ao foguete, deduz-se da Segunda
Lei de Newton do movimento que:
m
dm
dv
=
ve
dt
dt
~ve .
a) Mostre que ~v(t) = ~v(0) − ln m(0)
m(t)
b) Para que, em linha reta, o foguete acelere do repouso para o dobro da rapidez de saída
de seus gases de combustão, que fração da massa inicial será queimada?
2