089206 - Cálculo 2 Segunda lista de exercı́cios Profa Vera Lúcia Carbone 20 de agosto de 2014 1. Mostre as propriedades da derivada de funções vetoriais vistas em sala de aula. 2. Calcule o comprimento da curva dada em cada um dos itens abaixo: (a) γ(t) = (t cos t, t sen t), t ∈ [0, 2π] (b) r(t) = (2t − 1, t + 1), t ∈ [1, 2] (c) γ(t) = (cos t, sen t, e−t ), t ∈ [0, π] (d) γ(t) = (e−t cos t, e−t sen t, e−t ), t ∈ [0, 1] (e) γ : [0, π] → R2 dada por x(t) = 1 − cos t e y(t) = t − sen t. 3. Uma partı́cula desloca-se no espaço com equações paramétricas x = x(t), y = y(t) e z = z(t). Sabe-se que, para todo t, dx √ = 2, dt Sabe-se ainda que dy √ d2 z = 2 e = −2. dt dt2 dz = 2 e que no instante t = 0 a partı́cula se encontra na origem. dt t=0 (a) Qual a posição da partı́cula no instante t? (b) Qual a velocidade escalar da partı́cula? (c) Determine o instante T em que a partı́cula volta a tocar o plano-Oxy. (d) Qual o espaço percorrido pela partı́cula entre os instantes 0 e T ? 4. Uma pessoa em uma asa delta está espiralando para cima devido ao ar ascendente muito veloz em uma trajetória com vetor posição r(t) = (3 cos t, 3 sen t, t2 ), para t ∈ [0, 4π]. Determine: (a) os vetores velocidade e aceleração; (b) a velocidade escalar da asa-delta em um instante t qualquer; (c) os instantes (se houver) em que a aceleração da asa-delta é ortogonal à sua velocidade. 5. Encontre o maior subconjunto de I ⊂ R para os quais as curvas parametrizadas γ : I ⊂ R → Rn abaixo sejam diferenciáveis. Determine o vetor tangente à curva nos instantes t ∈ I. (a) γ(t) = (cos t, t) (b) γ(t) = (cos(t2 − 1), et 3 +2t−1 , sen (t3 − t2 + 1)) (c) γ(t) = (t2 , t3 ) (d) γ(t) = (cos(t3 + t2 ), 3t3 − 4t + 15, sen (t3 + t2 + t + 1)) 1 (e) γ(t) = ( sen t, cos t) 6. Encontre o maior subconjunto de R para os quais as curvas parametrizadas do exercı́cio anterior são regulares. 7. Determine o comprimento da curva regular γ, em cada um dos itens abaixo. 2 x = 5t x = t (a) γ : y = 4t2 , (b) γ : y = t sen t, 06t62 06t61 2 z = 3t z = t cos t 2 x = 2t x = 1 − t (c) γ : y = 4 sen (3t), (d) γ : y = 4t, 06t62 06t62 2 z = 4 cos(3t) z = 3 + 2t . (e) γ(t) = et i + t sen t j + t cos t k, 0 6 t 6 1 (f) γ(t) = 3t2 i + t3 j + 6t k, 0 6 t 6 1 8. Encontre as equações paramétricas da reta tangente à curva C no ponto P ∈ C , nos seguintes casos: 3 t x = 2t − 1 x = e 2 (a) C : y = −5t + 3, (b) C : y = tet , P = (1, −2, 10) P = (1, 0, 4) 2 z = 8t + 2, z =t +4 (c) C : γ(t) = et i + t sen t j + t cos t k, P = (1, 0, 0) (f) C : γ(t) = 3t2 i + t3 j + 6t k, P = (3, 1, 6). 9. Um ponto move-se sobre uma curva regular γ : I ⊂ R → R3 de modo que o vetor posição γ(t) e o vetor tangente γ 0 (t) sejam ortogonais. Mostre que o traço de γ está sobre uma esfera de centro na origem. (Sugestão: mostre que kγ(t)k2 é constante, para todo t, calculando sua derivada em relação a t.) 10. Definição: Se uma curva parametrizada regular γ : I ⊂ R → Rn tem vetor tangente ~u = γ 0 (t0 ) em um ponto P = γ(t0 ), então o plano normal a γ em P é o plano que passa pelo ponto P e é normal ao vetor ~u. n Encontre a equação do γ : I ⊂ R → R no ponto P nos se plano normal á curva parametrizada regular t x = t sen t x = e (b) γ : y = t cos t, guintes casos: (a) γ : y = tet , P = (−π/2, 0, π/2). P = (1, 0, 4) 2 z=t z =t +4 11. Dê exemplos de curvas γ e δ tais que Imγ = Imδ, mas que seus comprimentos de curvas sejam diferentes. 12. Definição: Dizemos que uma curva δ : [α, β] → Rn , com derivada contı́nua, está parametrizada pelo comprimento de arco se kδ 0 (s)k = 1, para todo s ∈ [α, β]. Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco. (a) δ(s) = (cos s, sen s), s > 0. s s (b) δ(s) = R cos , R sen , s > 0, onde R > 0 é um real fixo. R R s 2s (c) δ(s) = √ , √ , s > 0. 5 5 2