089206 - Cálculo 2
Segunda lista de exercı́cios
Profa Vera Lúcia Carbone
20 de agosto de 2014
1. Mostre as propriedades da derivada de funções vetoriais vistas em sala de aula.
2. Calcule o comprimento da curva dada em cada um dos itens abaixo:
(a) γ(t) = (t cos t, t sen t), t ∈ [0, 2π]
(b) r(t) = (2t − 1, t + 1), t ∈ [1, 2]
(c) γ(t) = (cos t, sen t, e−t ), t ∈ [0, π]
(d) γ(t) = (e−t cos t, e−t sen t, e−t ), t ∈ [0, 1]
(e) γ : [0, π] → R2 dada por x(t) = 1 − cos t e y(t) = t − sen t.
3. Uma partı́cula desloca-se no espaço com equações paramétricas x = x(t), y = y(t) e z = z(t). Sabe-se
que, para todo t,
dx √
= 2,
dt
Sabe-se ainda que
dy √
d2 z
= 2 e
= −2.
dt
dt2
dz = 2 e que no instante t = 0 a partı́cula se encontra na origem.
dt t=0
(a) Qual a posição da partı́cula no instante t?
(b) Qual a velocidade escalar da partı́cula?
(c) Determine o instante T em que a partı́cula volta a tocar o plano-Oxy.
(d) Qual o espaço percorrido pela partı́cula entre os instantes 0 e T ?
4. Uma pessoa em uma asa delta está espiralando para cima devido ao ar ascendente muito veloz em uma
trajetória com vetor posição r(t) = (3 cos t, 3 sen t, t2 ), para t ∈ [0, 4π]. Determine:
(a) os vetores velocidade e aceleração;
(b) a velocidade escalar da asa-delta em um instante t qualquer;
(c) os instantes (se houver) em que a aceleração da asa-delta é ortogonal à sua velocidade.
5. Encontre o maior subconjunto de I ⊂ R para os quais as curvas parametrizadas γ : I ⊂ R → Rn abaixo
sejam diferenciáveis. Determine o vetor tangente à curva nos instantes t ∈ I.
(a) γ(t) = (cos t, t)
(b) γ(t) = (cos(t2 − 1), et
3
+2t−1
, sen (t3 − t2 + 1))
(c) γ(t) = (t2 , t3 )
(d) γ(t) = (cos(t3 + t2 ), 3t3 − 4t + 15, sen (t3 + t2 + t + 1))
1
(e) γ(t) = ( sen t, cos t)
6. Encontre o maior subconjunto de R para os quais as curvas parametrizadas do exercı́cio anterior são
regulares.
7. Determine o comprimento da curva regular γ, em cada um dos itens abaixo.


2


x = 5t
x = t
(a) γ : y = 4t2 ,
(b) γ : y = t sen t,
06t62
06t61




2
z
=
3t
z
=
t
cos
t


2
x = 2t


x = 1 − t
(c) γ : y = 4 sen (3t),
(d) γ : y = 4t,
06t62
06t62




2
z = 4 cos(3t)
z = 3 + 2t .
(e) γ(t) = et i + t sen t j + t cos t k, 0 6 t 6 1
(f) γ(t) = 3t2 i + t3 j + 6t k, 0 6 t 6 1
8. Encontre as equações paramétricas da reta tangente à curva C no ponto P ∈ C , nos seguintes casos:


3
t


x = 2t − 1
x = e
2
(a) C : y = −5t + 3,
(b) C : y = tet ,
P = (1, −2, 10)
P = (1, 0, 4)




2
z = 8t + 2,
z =t +4
(c) C : γ(t) = et i + t sen t j + t cos t k, P = (1, 0, 0)
(f) C : γ(t) = 3t2 i + t3 j + 6t k, P = (3, 1, 6).
9. Um ponto move-se sobre uma curva regular γ : I ⊂ R → R3 de modo que o vetor posição γ(t) e o vetor
tangente γ 0 (t) sejam ortogonais. Mostre que o traço de γ está sobre uma esfera de centro na origem.
(Sugestão: mostre que kγ(t)k2 é constante, para todo t, calculando sua derivada em relação a t.)
10. Definição: Se uma curva parametrizada regular γ : I ⊂ R → Rn tem vetor tangente ~u = γ 0 (t0 ) em
um ponto P = γ(t0 ), então o plano normal a γ em P é o plano que passa pelo ponto P e é normal ao
vetor ~u.
n
Encontre a equação do
 γ : I ⊂ R → R no ponto P nos se plano normal á curva parametrizada regular
t
x = t sen t
x = e


(b) γ : y = t cos t,
guintes casos: (a) γ : y = tet ,
P = (−π/2, 0, π/2).
P = (1, 0, 4)




2
z=t
z =t +4
11. Dê exemplos de curvas γ e δ tais que Imγ = Imδ, mas que seus comprimentos de curvas sejam diferentes.
12. Definição: Dizemos que uma curva δ : [α, β] → Rn , com derivada contı́nua, está parametrizada pelo
comprimento de arco se kδ 0 (s)k = 1, para todo s ∈ [α, β].
Verifique que cada uma das curvas abaixo está parametrizada pelo comprimento de arco.
(a) δ(s) = (cos s, sen s), s > 0.
s
s (b) δ(s) = R cos
, R sen
, s > 0, onde R > 0 é um real fixo.
R
R
s 2s
(c) δ(s) = √ , √
, s > 0.
5
5
2
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