A Integral Indefinida
Definição1: Se F´(x) = f(x) então F(x) é uma primitiva de f(x).
Proposição1: Se F(x) é uma primitiva de f(x) e C é um número real então F(x) + C é
também uma primitiva de f(x).
Proposição2: Se F(x) e G(x) são ambas primitivas de f(x) então existe um número real C tal
que G(x) = F(x) + C.
A antidiferenciação é a operação na qual obtemos a antiderivada mais geral.
Esse processo que permite encontrar a primitiva de uma função f(x) chama-se integração da
função f(x).
Notação:
(Sinal
de integração)
Definição 2: O conjunto de todas as primitivas de f(x) é a integral indefinida de f(x) que é
indicada por
f(x)dx
Pelas Proposições 1 e 2 temos que se F(x) é uma primitiva qualquer de f(x) então
f(x)dx
= F(x) + C, sendo que C percorre o conjunto dos
números reais
Exemplos 2.1) (arctg x)´=
logo,
dx = arctg x + C
2.2) (arcsen x)´=
logo,
dx = arcsen x + C
2.3) (arccos x)´=
-
logo,
dx = -arc cos x + C
Tabela de integrais
1)
2)
dx / x = ln|x| + C
3)
Caso particular:
4)
cos x dx = sen x + C
5)
sen x dx = - cos x + C
6)
7)
8)
tg(x).sec(x)dx = sec(x) +C
9)
cotg(x).cosec(x)dx = -cossec(x) +C
10)
dx = arctg x + C
11)
dx = arcsen x + C = - arccos x + C
Propriedades da integral indefinida
1) Para todo número real a diferente de zero,
2)
( f(x) + g(x) ) dx =
Exemplo 3:
f(x) dx +
+3.cos(x) dx =
a.f(x)dx = a.
f(x)dx .
g(x) dx .
dx + 3
cos(x)dx = arctg x + C1+
+ 3.(sen(x) + C2) = arctg x +3.sen x + (C1+ 3.C2) = arctg x +3.sen x + C