Matemática para arquitetura II - Ton Marar - 2014
segunda lista de exercı́cios
1) Usando as regras de derivação
(
f (x) ′ g(x)f ′ (x) − f (x)g ′ (x)
) =
g(x)
(g(x))2
(f (x)g(x))′ = f (x)g ′ (x) + g(x)f ′ (x)
(f (g(x)))′ = f ′ (g(x))g ′ (x)
(f (x) + g(x))′ = f ′ (x) + g ′ (x)
e sabendo-se que
d α
d
d
x = αxα−1
sen(x) = cos(x)
cos(x) = −sen(x)
dx
dx
dx
calcule a derivada das seguintes funções:
√
√
(i) f (x) = 5x2 − x + 4
(ii) f (x) = (3x + 1)6 2x − 5
√
(iii) f (x) = cos(5x3 )
(iv) f (x) = sen(6x)
(v) f (x) = 2cos(x) + cos(2x)
(vi) f (x) = (sen(x))/(1 + cos(x)).
2) Encontre os extremos locais (máximos e mı́nimos) e esboce o gráfico das seguintes funções:
(i) f (x) = 12 + 2x2 − x4
(ii) f (x) = x5 − 5x3
(iii) f (x) = x3 + x2 − 5x − 5
(iv) f (x) = x2/3 (x2 − 8)
3) Na construção um recipiente cilı́ndrico sem tampa de volume 375π m3 , o custo do material
para a base é R$ 15/m2 e o custo do material para a lateral do cilindro é R$ 5/m2 . Determine
as dimensões (raio da base e altura) do cilindro de menor custo de fabricação.
4) Uma pessoa está num bote a 2 km de distância do ponto mais próximo de uma praia retilı́nea
e deseja atingir uma casa que está a 6 km praia abaixo. Se a pessoa pode remar a 9 km/h e
correr a 15 km/h, determine o tempo mı́nimo que levará para atingir a casa.
5) No cinema a tela de 6 m está a 3 m de altura. Determine a distância (na perpendicular) ao
plano da tela que deve se posicionar o observador para ter a máxima visão. Em outras palavras,
maximizar o ângulo formado pelas linhas de visão do topo e da base da tela).
6
x
3
6) Encontre as dimensões do cone circular reto (raio R e altura H) de maior volume que se
pode inscrever numa esfera de raio 2.
7) Com 12 metros de cerca define-se uma região na forma de um retângulo adjacente a um
semi-cı́rculo. Quais as dimensões da região de área máxima.
8) Determine os pontos da parábola y = x2 + 1 mais próximos do ponto de coordenadas (0, 2).
9) Construir um quadrado e um triângulo equilátero com 2 metros de arame. Onde se deve
cortar o arame para que a soma das áreas seja mı́nima? e para que a soma das áreas seja
máxima?
10) Uma barra rı́gida deve ser transportada por um corredor em L desde o ponto A até o
ponto B. Se as larguras do corredor são 10 m de um lado e 8 m no outro lado, determine o
comprimento máximo da barra que pode ser transportada.
(Use θ = 0, 83 se tg 3 (θ) = 5/4 e cos(θ) = 0, 68 e sen(θ) = 0, 74).
A
B
11) Duas estacas paralelas de 15 m e 6 m distam 20 m. Um cabo de aço deve ser fixado no
topo da primeira estaca, em seguida é fixado em um ponto P do solo entre as estacas e depois
no topo da outra estaca.
(i) Determine a posição do ponto P para que o comprimento do cabo seja mı́nimo.
(ii) Determine a posição do ponto P para que o ângulo de abertura θ seja máximo.
15
6
θ
20-x
x
P
12) Uma calha de 20 cm de base será construı́da com uma chapa de 60 cm de largura, dobrandose os lados que devem formar um ângulo θ com a base. Determine o ângulo que maximize o
volume de água que a calha poderá suportar.
20
20
θ
θ
20