MTDI I - 2007/08 - Complementos de Cálculo Diferencial
34
Complementos de Cálculo Diferencial
A noção de derivada foi introduzida no ensino secundário. Neste capítulo pretende-se relembrar algumas de…nições e resultados já conhecidos e complementar os conhecimentos adquiridos com vista ao cálculo integral que será dado no capítulo seguinte. Anteriormente foram
estudadas as funções trigonométricas e respectivas derivadas, mas não foram estudadas as
funções inversas das funções trigonométricas. Aqui serão apresentadas as funções inversas
das quatro principais funções trigonométricas, seno, co-seno, tangente e cotagente, para
as quais serão também calculadas as derivadas. Ao longo deste capítulo todas as funções
consideradas são funções reais de variável real.
Revisões
Algumas derivadas conhecidas:
Para
2 R, (x )0 = x
1
(ex )0 = ex
Para a 2 R+ , (ax )0 = ax ln a
1
(ln x)0 =
x
0
(sen x) = cos x
(cos x)0 =
sen x
1
(tan x)0 =
cos2 x
1
(cot x)0 =
sen2 x
Fórmula fundamental da trigonometria
cos2 x + sen2 x = 1
Da fórmula fundamental podem-se deduzir,
tg2 x + 1 =
1
(se cos x 6= 0)
cos2 x
cotg2 x + 1 =
1
(se sen x 6= 0)
sen2 x
De…nição Uma função é diferenciável em x 2 R se tiver derivada …nita em x:
Teorema Se uma função f é diferenciável em x 2 R, então f é contínua em x:
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Derivada da soma e do produto: Se f e g são funções diferenciáveis em x 2 R, então as
funções f + g e f g também são diferenciáveis em x e:
(f + g)0 (x) = f 0 (x) + g 0 (x) [abreviadamente (f + g)0 = f 0 + g 0 ]
(f g)0 (x) = f 0 (x) g (x) + f (x) g 0 (x) [abreviadamente (f g)0 = f 0 g + f g 0 ]
Exemplos: Se f (x) = sen x e g (x) = cos x então:
(sen x + cos x)0 = (sen x)0 + (cos x)0 = cos x
sen x
(sen x cos x)0 = (sen x)0 cos x + sen x (cos x)0 = cos x cos x + sen x (
= cos2 x
sen x) =
sen2 x:
Derivada do produto escalar: Se k 2 R e f é uma função diferenciável num ponto x 2 R,
então a função kf também é diferenciável em x e:
(kf )0 (x) = k (f 0 (x))
0
0
Exemplo: (3x2 ) = 3 (x2 ) = 3 (2x) = 6x:
Derivada do cociente: Se f e g são funções diferenciáveis em x 2 R e se g (x) 6= 0, então
f
também é diferenciável em x e:
g
f
g
0
f 0 (x) g (x) f (x) g 0 (x)
(x) =
[abreviadamente
(g (x))2
f
g
0
=
f 0g + f g0
]
g2
Exemplo: Se f (x) = sen x e g (x) = cos x então:
(tan x)0 (x) =
=
sen x
cos x
0
=
cos x cos x
sen x (
(sen x)0 cos x
sen x (cos x)0
=
2
cos2 x
(cos x)
sen x)
cos2 x + sen2 x:
1
=
2
cos x
cos2 x
Derivada da função composta: Se f e g são funções, g diferenciável em x 2 R e f
diferenciável em g (x), então a função f
(f
g)0 (x) = f 0 (g (x)) g 0 (x)
Exemplo: Se f (x) = ln x e g (x) = x2
g) (x) = ln (x2 ) e, então:
1
2x
0
0
(ln (x2 )) = 2 : (x2 ) = 2
x
x
2
(g f ) (x) = (ln x) e então:
2 ln x
0
(ln x)2 = 2 ln x: (ln x)0 =
x
(f
g é diferenciável no ponto x e:
=
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Funções trigonométricas inversas
Função inversa da função seno
f (x) = sen x
Domínio: R
Contradomínio: [ 1; 1]
Grá…co:
y
1
0.5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
-0.5
x
-1
sen x
Como a função seno não é injectiva, para de…nir a inversa temos de restringir
h
i a função a
um intervalo em que seja injectiva. Para isso escolhemos o intervalo
; , no qual a
2 2
função seno é estritamente crescente e assume todos os valores do seu contradomínio. Ao
valor da função inversa do seno num ponto x deste intervalo chama-se habitualmente arco
cujo seno é x; simbolicamente arcsen x: Como sen x e arcsen x são funções inversas, é claro
que sen(arcsen x) = x: Tem-se então:
f
1
(x) = arcsen x
Domínio: [ 1; 1]h
i
Contradomínio:
;
2 2
Grá…co:
y
1.5
1
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
x
-0.5
-1
-1.5
arcsen x
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Função inversa da função co-seno
f (x) = cos x
Domínio: R
Contradomínio: [ 1; 1]
Grá…co:
y
1
0.5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
-0.5
x
-1
cos x
Também neste caso, para de…nir a função inversa temos de restringir a função co-seno a
um intervalo em que seja injectiva. Para isso escolhemos o intervalo [0; ], no qual a função
co-seno é estritamente decrescente e assume todos os valores do seu contradomínio. Ao valor
da função inversa do co-seno num ponto x deste intervalo chama-se habitualmente arco cujo
co-seno é x; simbolicamente arccos x: Como cos x e arccos x são funções inversas, é claro
que cos (arccos x) = x: Tem-se então:
f 1 (x) = arccos x
Domínio: [ 1; 1]
Contradomínio: [0; ]
Grá…co:
y
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-1
-0.5
0
0.5
1
x
arccos x
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Função inversa da tangente:
f (x) = tan x (ou
n f (x) = tg x)o
Domínio: R
+k :k 2Z
2
Contradomínio: R
Grá…co:
y
10
5
0
-10
-5
0
5
10
x
-5
-10
tan x
Nestei caso, para
h calcular a função inversa da tangente, efectuamos a sua restrição ao intervalo
;
no qual a função é estritamente crescente e assume todos os valores do seu
2 2
contradomínio. Ao valor da função inversa da tangente num ponto x deste intervalo chamase habitualmente arco cuja tangente é x; simbolicamente arctan x ou arctg x: Como tan x
e arctan x são funções inversas, é claro que tan (arctan x) = x: Tem-se então:
f 1 (x) = arctan x (ou f 1 (x) = arctg x)
Domínio: R
i
h
Contradomínio:
;
2 2
Grá…co:
y
1
0.5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
-0.5
x
-1
arctan x
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Função inversa da cotangente:
f (x) = cot x (ou f (x) = cotg x)
Domínio: R fk : k 2 Zg
Contradomínio: R
Grá…co:
y
10
5
0
-10
-5
0
5
10
x
-5
-10
cot x
Neste caso, para calcular a função inversa da cotangente, efectuamos a sua restrição ao
intervalo ]0; [ no qual a função é estritamente decrescente e assume todos os valores do
seu contradomínio. Ao valor da função inversa da tangente num ponto x deste intervalo
chama-se habitualmente arco cuja cotangente é x; simbolicamente arccot x ou arccotg x:
Como cot x e arccot x são funções inversas, é claro que cot (arccot x) = x: Tem-se então:
f 1 (x) = arccot x (ou f 1 (x) = arccotg x)
Domínio: R
Contradomínio: ]0; [
Grá…co:
y
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x
arccot x
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Derivada da função inversa
O teorema que se enuncia de seguida permite calcular a derivada da função inversa de uma
função dada a partir da derivada da função inicial.
Derivada da função inversa: Seja I um intervalo real, f : I ! R uma função monótona
1
e contínua e f
0
: f (I) ! R a inversa de f: Se f é diferenciável num ponto x 2 I e
1
f (x) 6= 0; então f
é diferenciável em y = f (x) e:
f
1 0
1
(y) =
f 0 (f
1
(1)
(y))
Exemplos: Os exemplos que apresentamos mostram como utilizar este teorema no cálculo
de derivadas já conhecidas.
1. Vamos calcular a derivada da função ln x usando o facto de ser a função inversa de
f (x) = ex : Com é sabido f 0 (x) = ex :
Neste caso f
1
(y) = ln y: Aplicando a fórmula (1) obtemos:
(ln y)0 = f
1 0
(y) =
1
f0
(f
2. Vamos calcular a derivada da função x 3 =
p
3
1
1
(y))
1
=
e(ln y)
=
1
y
x usando o facto de ser a função inversa
de f (x) = x3 : Com é sabido f 0 (x) = 3x2 :
p
Neste caso f 1 (y) = 3 y: Aplicando a fórmula (1) obtemos:
1
y3
0
p
= ( 3 y)0 = f
1 0
(y) =
1
f0
1
(f
=
(y))
3
1
p
3
y
1
= y
3
2
2
3
Derivadas das funções trigonométricas inversas
arcsen x
Se f (x) = sen x então f 0 (x) = cos x e f
1
(y) = arcsen y. Aplicando a fórmula (1)
da página 40, obtem-se:
(arcsen y)0 =
1
cos (arcsen y)
=
#
ve r p g . 3 4
arccos x
Se f (x) = cos x então f 0 (x) =
sen x e f
1
p
1
1
sen2
(arcsen y)
1
=p
y2
1
(y) = arcsen y. Aplicando a fórmula (1)
da página 40, obtem-se:
(arccos y)0 =
1
sen (arccos y)
=
#
ve r p g . 3 4
1
p
1
cos2
(arccos y)
=
1
p
1
y2
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arctan x
Se f (x) = tan x então f 0 (x) =
da página 40, obtem-se:
(arctan y)0 =
1
ef
cos2 x
1
1
2
cos (arctan y)
1
(y) = arctan y. Aplicando a fórmula (1)
=
1
1
= 2
tan (arctan y) + 1
y +1
2
#
ve r p g . 3 4
arccot x
Se f (x) = cot x então f 0 (x) =
da página 40, obtem-se:
1
1
2
sen (arccot y)
(arccot y)0 =
Conclusão:
(arcsen x)0 = p
1
x2
1
1
(arccos x)0 =
p
(arctan x)0 =
1
1 + x2
(arccot x)0 =
1
1
ef
sen2 x
x2
1
1 + x2
1
=
#
ve r p g . 3 4
(y) = arccot y. Aplicando a fórmula (1)
1
cot (arccot y)
2
1
=
1
y2
1