Física Geral
● Grandezas
físicas
Grandezas físicas possuem um valor numérico e
significado físico.
O valor numérico é um múltiplo de um padrão
tomado como unidade.
●
●
●
●
●
●
●
Comprimento (m)
Massa (kg)
Tempo (s)
Corrente elétrica (A)
Quantidade da substância (mole)
Temperatura (K)
Intensidade luminosa (cd)
● Grandezas
direcionais
São aquelas que além do valor numérico, dependem
de
especificação
espacial
para
sere m
completamente definidas.
Direção, sentido e módulo: grandezas vetoriais ou
vetores.
Exemplos:
●
●
●
●
●
●
Deslocamento
Velocidade (quantidade de movimento)
Aceleração (força)
Torque
Campo elétrico
Campo magnético
● Grandezas
não direcionais
São aquelas completamente definidas apenas por
um valor numérico.
Grandezas escalares ou escalares.
Exemplos:
●
●
●
●
●
●
Temperatura
Massa
Intensidade luminosa
Corrente elétrica
Tempo
Energia
●Direção
orientada
Convencionalmente,considera-se o deslocamento do
ponto a para o ponto b, como
positivo e do
ponto b para o ponto a, negativo.
a
Segmento de reta orientada
b
eixo
Eixos coordenados orientados.
y
Mesmo sentido: direção
orientada única
x
y
Sentidos opostos:
direções orientadas
em sentidos opostos
x
Espaço bidimensional,
direção orientada definida
pelo ângulo θ com o eixo.
Espaço tridimensional,
direção orientada
definida pelos ângulos θ e φ.
● Vetores
Um vetor pode ser representado em modo gráfico
ou escrito.
Modo gráfico: segmento de reta orientado com a
mesma direção e sentido que o vetor considerado
e cujo comprimento é proporcional à magnitude do
mesmo.
Modo escrito:letra maiúscula ou minúscula em
negrito (A, B, a, b) ou em itálico com uma flexa
sobre a letra ( ⃗
A,⃗
B ,⃗
a ,⃗
b ).
⃗∣ ,∣⃗
a∣ ,∣⃗b∣
Módulo ou magnitude: A,B,a,b ou ∣⃗A∣ ,∣B
Vetor unitário
unidade.
é
um
vetor
cujo
módulo
é
a
∣û ∣=1 ou ∣u∣=1
Qualquer vetor paralelo a um vetor unitário pode
ser escrito como:
V = u V ou V = u |V|
Para vetores paralelos, podemos escrever:
⃗ û V e V
⃗ '= û V '
V=
com
⃗
V
V'
u=
̂
e definindo λ=
V
V
Portanto podemos relacionar os dois vetores:
V⃗ ' = V⃗
Soma entre vetores
●
Regra do paralelogramo
Método gráfico:a escala é escolhida tomando-se
o comprimento de um segmento como unidade da
intensidade do vetor e o paralelogramo é
formado pelos dois vetores.
A diagonal
aos lados
representa
resultante,
dos vetores
adjacente
A e B,
o
vetor
V, soma
V1 e V2.
●
Método trigonométrico
O vetor soma dos dois vetores, V = V1 + V2, é
obtido usando-se a trigonometria. Vamos considerar
o triângulo ACD da figura abaixo.
Pelo teorema de
Pitágoras, temos:
AC 2=(AB+BD)2+DC2
Reescrevendo em termos das componentes dos vetores
V 2=(V 1+V 2 cos φ)2+V 2 sen φ
Usando propriedades trigonométricas, rearranjamos
a expressão para obter o módulo do vetor
resultante V.
V 2=V21+(V22 sen 2 φ+V22 cos2 φ)+2 V1 V2 cos φ
2
2
1
2
2
2
2
V =V +V (sen φ+cos φ)+2 V1 V 2 cos φ
Lei dos cossenos
V= √ V21+V 22+2 V 1 V2 cos φ
Direção do vetor resultante
Visto que a grandeza é um vetor,
determinar também sua direção.
precisamos
A direção do vetor V, pode ser determinada pelo
ângulo α entre ele e o vetor V1.
A tangente de α é dada por:
V2 sen ϕ
DC
tg α=
=
AD V1+V2 cos ϕ
Portanto:
V 2 sen ϕ
α=arc tg
V 1+V 2 cos ϕ
Direção do vetor resultante
Outro método para determinar a direção do vetor
resultante é usando a lei dos senos, isto é, a
razão entre cada lado de um triângulo e o seno do
ângulo oposto correspondente, é constante.
Considerando
o
triângulo
vetores V1, V2 e V, temos:
ABC,
formado
pelos
⃗1
⃗2
⃗
V
V
V
=
=
sen β sen α sen (180−φ)
Da figura podemos escrever:
CD=AC sen α=BC sen φ
V sen α=V 2 sen φ
V2
V
=
(1)
sen φ sen α
O lado BE é comum aos triângulos ABE e CBE, então
temos:
De (1) e (2), temos:
V1 sen α=V2 sen β
V1
V2
=
(2)
sen β sen α
Lei dos senos
V1
V2
V
=
=
sen φ sen β sen α
Diferença entre vetores
Observe que D'= -D, ou seja, a diferença entre vetores é
anticomutativa
Quando consideramos a diferença D= V⃗1− V⃗2 ,observamos
que o ângulo entre os vetores é π−φ .
Partindo da lei dos cossenos, e considerando o
ângulo entre os dois vetores temos:
D= √ v 21+V 22+2 V 1 V 2 cos (π−ϕ)
D= √ v 21 +V 22+2 V1 V 2 cos π cos ϕ−sen π sen ϕ
D= √ v 21+V 22−2 V 1 V2 cos ϕ
Multiplicação de um vetor
por um escalar
●
mA vetor paralelo e de mesma direção que
A.
●
Mesmo sentido de A (m>0)
●
Módulo |m||A| = |m|A.
●
Multiplicação de um vetor por um escalar
(m+n) ⃗
A=m ⃗
A+n ⃗A
Vetores A, B e C coplanares; A e B não são
paralelos.
Vetor B paralelo à B'
Vetor A paralelo à A'
Vetor C – combinação linear dos vetores A e
B.
⃗ =m ⃗
C
A+n ⃗
B
B⃗' =n ⃗
B
A⃗' =m ⃗
A
Existe A' e B' ou (m e n), tal que
⃗ = A'
⃗ + B⃗' =m ⃗A+n B
⃗
C
(1)
Suponha que existe outro par m' e n', tal
que
⃗ =m' ⃗A+n' ⃗
C
B (2)
Subtraindo (1) de (2),
0=(m−m ' ) ⃗A+(n−n' ) ⃗
B
Como por hipótese,
A'e B'não são
parelelos,
m−m ' =0
n−n ' =0
⇒
⇒
m=m'
n=n'
Produto escalar e produto vetorial
B sen φ
projeção
de B na direção
ortogonal à A.
B cos φ
projeção de
B na direção de A.
●
Produto escalar de A por B
⃗
A.⃗
B = AB cos φ
(Projeção de B na direção
de A) X (módulo de A)
Se A . B = 0 ⇒ A e B são ortogonais.
∣⃗A+ ⃗B∣= √ A 2+ B2+2 ⃗A. ⃗B
● Propriedades
a) ⃗
A.⃗
B= ⃗
B . ⃗A
(comutatividade)
⃗)
b ) m( ⃗
A.⃗
B )=(m ⃗A). ⃗
B = ⃗A(m B
2
c) ⃗
A . ⃗A=∣⃗A∣ = A2
⃗ .( ⃗
⃗ . ⃗A+C
⃗ .⃗
d )C
A+ ⃗
B)=C
B
(distributividade)
●
Propriedade distributiva
∣⃗A+ ⃗B∣cos γ=∣⃗A∣cos α+∣B⃗∣cos β
∣C⃗ ∣ ∣⃗A+ B⃗∣cos γ=∣C⃗ ∣ ∣⃗A∣cos α
⃗ .( ⃗A+ ⃗
⃗ .⃗
⃗ .B
⃗
C
B )=C
A+C
⃗ ∣ ∣B
⃗∣cos β
+ ∣C
●
Produto vetorial de A por B
AXB
vetor cuja direção é perpendicular à A e B e
cujo sentido é dado pela regra da mão direita.
∣⃗A× ⃗B∣= A B sen φ
Módulo de |A X B| = (projeção de B na direção
ortogonal à A) X (módulo de A).
Área do paralelogramo S.
⃗∣
S =∣ ⃗
A× B
● Propriedades
⃗ =− ⃗
a ) ⃗A× B
B× ⃗
A (antissimétrica)
⃗=⃗
⃗)
b ) m( ⃗
A× ⃗
B )=(m ⃗A)× B
A×(m B
c) ⃗
A× ⃗A=0 , ⃗A× ⃗
B =0 ; ⃗A // ⃗
B (paralelos)
⃗ ⃗
⃗ ⃗A+ C×
⃗ ⃗
⃗ )=C×
d ) C×(
A+ B
B (distributividade)
●
Propriedade distributiva
∣⃗A+ ⃗B∣sen γ=∣⃗A∣sen α+∣B⃗∣sen β
∣C⃗ ∣ ∣⃗A+ B⃗∣sen γ=∣C⃗∣ ∣⃗A∣sen α+∣C⃗ ∣ ∣⃗B∣senβ
⃗ ×( ⃗
⃗ × ⃗A+C×
⃗ ⃗
C
A+ ⃗
B )=C
B
● Produto
escalar triplo
Área S = |A X B|
⃗ .( ⃗A× ⃗
⃗ ∣ ∣ ⃗A× ⃗
⃗ ∣cos α∣ ⃗
⃗∣
C
B)=∣C
B∣cos α =∣C
A× B
⃗ .( ⃗A× ⃗
C
B )=h S =V (volume do paralelepípedo)
Se qualquer dois vetores são iguais, o produto escalar
triplo é zero.
⃗
⃗
⃗ .B
⃗ ×C =0 ; ⃗A . B
⃗ ×B
⃗ =0
A . ⃗A×C=0
; C
⃗ .( ⃗A× ⃗
⃗ )= B
⃗ ⃗
⃗ ×C
⃗ .( C×
C
B )= ⃗
A .( B
A)
Se A, B e C são coplanares:
{
⃗
⃗ )=0 ;(α=π/ 2)
A .( ⃗
B×C
⃗ =m ⃗
⃗
C
A+n B
⃗ ×( ⃗
C
A× ⃗
B )=m ⃗
A+n ⃗
B