Mecânica dos Fluidos
Conservação da massa
Prof. Carlos Ruberto Fragoso
Jr.
Programa da aula

Revisão


Sistema, volume de controle e
superfície de controle
Teorema do transporte de Reynolds
Equação da conservação da
massa;
 Casos Especiais;
 Exercícios.

Sistema


É uma quantidade de matéria de massa e
identidade fixa, que escolhemos como objeto
de estudo;
Esta quantidade de matéria está contida por
uma fronteira através da qual não há fluxo
de massa.
Volume de controle


É uma determinada região delimitada por
uma fronteira onde uma determinada
quantidade de matéria é observada.
Exemplo:
Superfície de controle

É a fronteira (contorno geométrico) de um
volume de controle.
Superfície de controle s.c.
O sistema e o volume de controle fixo
fluxo líquido da propriedade 
ˆ

n
  Vda
s.c
DN sis
Nsist ( t  t )  Nsis ( t )
 lim
t 0
Dt
t
DN sis
N3 ( t  t )  N2 ( t  t )  N2 ( t )  N1( t )
 lim
t 0
Dt
t
N3 ( t  t )  N1( t  t )
N2 ( t  t )  N1( t  t )  N2 ( t )  N1( t )
 lim
 lim
t 0
t 0
t
t
DN sis
N ( t  t )  NV.C ( t )
N ( t  t )  N1( t  t )
 lim v.C
 lim 3
t 0
t 0
Dt
t
t
DN sis
Nv.C ( t  t )  NV.C ( t )
N3 ( t  t )  N1( t  t )
 lim
 lim

t

0
t 0
Dt
t
t
DN sis dNv.c
N ( t  t )  N1( t  t )

 lim 3
t 0
Dt
dt
t
N3 ( t  t ) 
 nˆ  VtdA
A3
3
N1( t  t )    nˆ  VtdA1
A1
N3 ( t  t )  N1( t  t ) 
 nˆ  VtdA
s.c
DN sis dNv.c
N ( t  t )  N1( t  t )

 lim 3
t 0
Dt
dt
t
DNsis dNv.c

  nˆ  VdA
Dt
dt
s.c
DNsis
d

dV   nˆ  VdA

Dt
dt v.c
s.c
Teorema de Transporte de Reynolds => Transformação
sistema para volume de controle.
DNsis
d
ˆ


d
V


n
 VdA


Dt
dt v.c
s.c
Taxa de variação da
propriedade
extensiva no V.C
Fluxo da propriedade
extensiva através da
superfície de controle
≠ 0 somente aonde o
fluido atravessa a
superfície de controle
Conservação da massa



O primeiro princípio físico ao qual aplicamos a
relação entre as formulações de sistema e
volume de controle é o princípio da
conservação de massa.
A massa de um sistema permanece constante.
Em linguagem matemática:
Dm
0
Dt Sistema
Equação da conservação da
massa

Partindo do Teorema do Transporte de
Reynolds:



DNSistema d
 d   V  nˆ dA


Dt
dt VC
SC

Para deduzir a formulação para volume de
controle da conservação de massa, fazemos:
N m
N  massa  m      1
m m
N m
 1
Equação da conservação da
massa

Que substituídos na equação genérica do TTR
fornece:

DNSistema d

d   V  nˆdA

Dt
dt VC
SC

Da conservação da massa do sistema:
DN Sistema
0
Dt
Equação da conservação da
massa
Variação interna da
massa no V.C.
Fluxos de entrada e
saída na S.C.

d
ˆ


d



V

n
dA  0


dt VC
SC
Balanço Geral para a conservação da massa em um
volume de controle
Casos Especiais

Volume de controle não deformável:
Volume de controle não
deformável
Saída
Entrada
Taxa de massa Taxa de massa
que sai
acumulada
Taxa de massa
que entra
n
m
d
d   iui Ai sai    j u j Aj entra  0

dt VC
i 1
j 1
Casos Especiais

Escoamento permanente:
Variação interna da
massa no V.C.
Fluxos de entrada e
saída na S.C.

d
ˆ


d



V

n
dA  0


dt VC
SC
0

 V  nˆdA  0
SC
Casos Especiais

Escoamento incompressível (propriedades do
fluido são constantes):
n
m
d
  d    ui Ai sai    u j Aj entra  0
dt VC
i 1
j 1
m
d n
  ui Ai sai   u j Aj entra  0
dt i 1
j 1
Casos Especiais



Escoamento incompressível (propriedades do
fluido são constantes);
Regime permanente;
Volume de controle não deformável:
n
 u A 
i
i 1
i sai
n
 Q 
i 1
i sai
  u j Aj entra
m
j 1
  Q j entra
m
j 1
Caso mais simples
Volume de controle não
deformável
Saída
Entrada
A2, u2
A1, u1
u1 A1  u2 A2
Q1  Q2
Exercício 1
Considere o escoamento permanente de água em uma junção de tubos
conforme mostrado no diagrama. As áreas das seções são: A1 = 0,2 m2;
A2 = 0,2 m2; A3 = 0,15 m2. O fluido também vaza para fora do tubo através
de um orifício no ponto 4, com uma vazão volumétrica estimada em 0,1
m3/s. As velocidades médias nas seções 1 e 3 são u1 = 5 m/s e u3 = 12
m/s. Determine a velocidade do escoamento na seção 2.
Exercício 2
Um reservatório se enche de água por meio de duas entradas
unidimensionais. A altura da água é h. (a) Encontre uma expressão para a
variação da altura da água, dh/dt. (b) Calcule dh/dt para D1 = 25 mm, D2 =
75 mm, u1 = 0,9 m/s, u2 = 0,6 m/s e Ares = 0,18 m2, considerando a água
a 20 ºC.
aberto
Exercício 3
Lista de exercícios