CONTINUIDADE
A idéia de uma Função Contínua
Grosso modo, uma função contínua é uma função que não apresenta interrupção – ou seja, uma função que
tem um gráfico que pode ser desenhado sem tirar o lápis do papel. Assim, verificar que uma função não é
contínua, a partir do seu gráfico, é muito simples.
Observe os gráficos na figura a seguir.
As primeiras duas funções - f  x  e r  x  - não apresentam interrupções e, portanto, elas são contínuas
para todo valor de x. Mais ainda, elas são contínuas em todo o seu domínio (ou seja, para todo x no conjunto
dos números reais).
As demais funções - g  x  , h  x  , p  x  , e q  x  - apresentam interrupções em x = 2 e, portanto, elas não são
contínuas em x = 2. Ou, dito de outro modo, elas são contínuas em qualquer intervalo que não contém
x = 2.
Profa. Lena Bizelli
Continuidade, Limites e função definida em um ponto
Bom, agora que você já sabe como distinguir uma função contínua de uma não contínua, a partir do seu
gráfico, vamos ampliar um pouco mais nosso conhecimento acerca da continuidade de uma função. Para
isso, vamos abordar de três casos diferentes:
Caso 1 - Considere os gráficos descritos a seguir.
Observe os gráficos das funções g(x) e q(x). Você já aprendeu que elas são descontínuas, pois existe uma
interrupção em x = 2 (uma “bolinha aberta” em g(x) e uma assíntota vertical em q(x)). Nesse caso, dizemos
que as funções g(x) e q(x) são descontínuas em x = 2 (e apenas em x = 2).
Ainda, as funções g(x) e q(x) não estão definidas em x = 2 e, portanto, x = 2 não faz parte do Domínio. Nesse
caso, escrevemos
 g  2 e  q  2
não existe f (2) e não existe q(2)
Observe ainda, que
 lim g  x   7 e  lim q  x 
x2
x2
RESUMINDO:

g  x  7
 lim
x 2

  g  2 
e
  lim q  x 
x 2

 q  2 
Ótimo! Prosseguindo...
Caso 2 - Considere agora os gráficos descritos a seguir.
Profa. Lena Bizelli
Como anteriormente, as funções h(x) e p(x) são descontínuas, pois existe uma interrupção em x = 2 (as
funções “dão um salto” em x = 2). Nesse caso, também dizemos que as funções h(x) e p(x) são descontínuas
em x = 2 (e apenas em x = 2).
Diferente do caso anterior, as funções estão definidas em x = 2 e, portanto, x = 2 faz parte do Domínio.
Escrevemos então:
 h  2  5 e  p  2  2
existe h (2) e existe p(2)
Observe ainda, que
 lim h  x   7 e  lim p  x 
x2
x2
RESUMINDO:
 lim h  x   7 
x2
  lim h  x   h  2 
x2
 h  2  5

e
  lim p  x 
x2

 p  2   2
Finalmente....
Caso 3 - Considere agora os gráficos descritos a seguir.
As funções f (x) e r (x) são contínuas em x = 2 (e em qualquer outro valor de x), pois as funções não
apresentam interrupção em x = 2 (e nem em nenhum outro valor de x). Nesse caso, dizemos que as funções
f(x) e r(x) são contínuas para todo valor de x.
Vejamos então o que acontece com o valor das funções em x = 2 e com o limite das funções quando x se
aproxima de 2, para podermos comparar como os casos anteriores onde as funções eram descontínuas em
x = 2.
Você pode observar que
 f  2  7 e  r  2  2
existe f (2) e existe r (2)
Ainda, observando atentamente os gráficos de f (x) e r (x), podemos concluir que:
 lim f  x   7 e  lim r  x   2
x2
x2
Profa. Lena Bizelli
Um olhar mais atento para as expressões em destaque nos mostra que, nesse caso,
 lim f  x   f  2 
x2
e
 lim r  x   r  2 
x2
o que não acontecia nos casos anteriores, onde as funções eram descontínuas.
CONCLUINDO:
Dizemos então que uma função y  f  x  é contínua em um ponto x = a se a seguinte condição está
satisfeita:
lim f  x   f  a 
xa
1. Toda função polinomial y  f  x  é contínua para todo x.
2. Toda função racional – função definida como o quociente de duas funções polinomiais – é
contínua em todo o seu domínio. Ou, dito de outra maneira, uma função racional é contínua em
qualquer intervalo no qual seu denominador não se anula.
3. Quando uma função y  f  x  está definida em um intervalo [a,b], dizemos que:
(a) y  f  x  é contínua em x = a, se lim f  x   f  a  .
x a
(b) y  f  x  é contínua em x = b, se lim f  x   f  b  .
x a
(c) y  f  x  é contínua em x0   a, b  , se lim f  x   f  x0  .
x  x0
Profa. Lena Bizelli
Exercícios
1) Analise a continuidade das funções dadas.
3
(a) f  x   2 x  x 2 em
(c) f  x  
(e) f  x  
1
2x  5
em
ex
em
ex 1
 1,1
(b) f  x  
1
em
x2
 1,1
3, 4
(d) f  x  
1
em
cos x
0, π 
 1,1
2) Um circuito elétrico muda, instantaneamente, de uma bateria de 6 volts para uma de 12 volts após ser
ligado. Faça o gráfico da voltagem da bateria em função do tempo. Defina uma função que represente o
gráfico. Analise a continuidade da função. Justifique sua resposta.
3) Encontre o valor de k para que a função dada seja contínua para todo valor de x em [0,2].
kx  2, 0  x  2
f  x  
3
 2 x , x  2
4) Determine o valor de k, se possível, de modo que a função dada seja contínua para todo valor de x.
Justifique sua resposta.
 5 x3  10 x 2
, x2

f  x   x  2

k, x  2

5) Considere a afirmação:
“Se uma função não é contínua em um ponto, então ela não está definida nesse ponto.”
Essa afirmação é verdadeira ou falsa? Justifique sua resposta.
6) Defina o valor da função dada em x = 5 de modo que ela se torne contínua em x = 5.
f  x 
x4 3
x5
Algumas Respostas
6, 0  t  7
2) V  t   
a função é descontínua em t = 7 pois  lim V  t 
t 7
 12, t  7
3) k = 9
4) k = 20
6) f  5  
1
6
Profa. Lena Bizelli