2. FORMAS INTEGRAIS DAS LEIS
FUNDAMENTAIS
2.1. Introdução
Basicamente os problemas podem ser resolvidos de duas maneiras
diferentes:
Solução 
integral
diferencial
A solução integral é uma solução global.
Exige uma extensão sobre a qual é feita a integração.
Extensão  linha
Ex: força de tensão superficial.
Extensão  área
Ex: força sobre uma superfície.
Extensão  volume
Ex: massa de um corpo.
Extensão  massa
Ex: quantidade de movimento.
Por sua vez, a solução diferencial é uma solução pontual.
Permite a obtenção de valores tais como:
pressão,
velocidade,
massa específica,
temperatura,
etc.
Em cada ponto do escoamento.
Normalmente é uma solução mais trabalhosa.
2.2. As Três Leis Básicas
As quantidades integrais de interesse fundamental na mecânica dos
fluidos estão contidas em três leis básicas:
•
conservação da massa,
•
primeira lei da termodinâmica e
•
segunda lei de Newton.
Essas leis básicas são expressas usando a descrição lagrangiana
em termos de um sistema de partículas.
Sistema é um conjunto fixo de partículas materiais.
Conservação da massa:
A massa de um sistema não muda com o tempo.
y
ms
Sistema

V

r
dm   d
x
msis    d  Cte.
sis
z
D m sis
0
Dt
 Princípio de conservação da massa
D
0
Dt
 Mostra que a grandeza se conserva ao longo do
escoamento
D
Dt

sis
 d  0
A Primeira Lei da Termodinâmica:
Relaciona a transferência de calor, o trabalho e a variação da
energia.
Sistema
Q
Esis

W
A taxa de transferência de calor para um sistema menos a taxa à
qual o sistema realiza trabalho é igual a taxa à qual a energia do
sistema está mudando.
 W
  D E sis
Q
Dt
 Princípio de conservação da energia
Esis    e d
sis
dE
e
dm
 energia específica
2
V
e~
u
 gz
2
A energia não pode ser criada nem destruída durante um processo;
ela só pode mudar de forma.
A Segunda Lei de Newton:



DV
d F  dm a  dm
Dt



D 
DV
sis d F   F  sis Dt dm  Dt sisVd m
Onde:


Qsis   Vd m
 Quantidade de movimento linear.

 DQsis
 F  Dt
 Princípio de conservação da
quantidade de movimento linear.
sis
A força resultante agindo no sistema é igual a taxa à qual a
quantidade de movimento do sistema está alterando.
Equação do Momento da Quantidade de movimento:

    DV
dM  r  d F  r 
dm
Dt
y
=0


ms
 
 


 DV  DV
 DV
D( r  V) Dr
 VV r 
 Sistema
r

V r 
Dt
Dt
Dt
Dt
Dt



 D( r V)
V
dM 
dm
Dt


r

dm   d

D( r V)
 
D
 M  sis Dt dm  Dt sis ( r V)d
x

 
 Quantidade de movimento angular.
H sis   r  V dm
sis
z

 D H sis
 M  Dt
 Princípio de conservação da
q.d.m. angular.
Principíosde 
grandeza
 
  grandeza extensiva
conservação 
global 
extensãoà massa   dm
sis
Com:
ou ao volume
  d
sis
Considerando:
Nsis  grandeza extensiva do sistema (global).

 grandeza intensiva correspondente (pontual).
Com:

dN
dm
N sis    dm
sis
De uma maneira geral, os princípios de conservação podem ser
expressos como:
D N sis
Dt
Exemplo:
Princípio da conservação da q.d.m.

 DQsis
 F  Dt
Com:

Nsis  Qsis
Em Fenômenos de Transporte (Mec-Flu) o interesse não é em
relação a um “sistema de partículas”, mas sim a uma região do
espaço.
Volume de controle (VC)  região “fixa” do espaço
(fixa em relação a um referencial)
Ponto de vista de sistema  lagrangiano
Figura 4.1 Exemplo de um sistema na mecânica dos fluidos
Ponto de vista de volume de controle  euleriano
(fixo)
Figura 4.2 Exemplo de um VC fixo e de um sistema
a) instante t; b) instante t + t
Já que a descrição euleriana é a mais conveniente, há a
necessidade de se estabelecer uma relação entre estes dois pontos
de vista.
2.3. Transformação “Sistema” para
“Volume de Controle”
O interesse está em se obter a taxa de variação temporal da
propriedade extensiva Nsis, enquanto se acompanha o sistema, mas
do ponto de vista de VC.
D N sis  natural no ponto de vista de sistema
Dt
mas quanto vale no ponto de vista de VC?
De modo a responder, deve-se considerar a Figura 4.4, a qual é
apresentada logo a após a seguinte ilustração.
Instante t + t
Sistema no
tempo t + t.
Sistema
Volume de Controle
No instante
inicial,
e volume
de controle
Esquema
parasistema
estabelecer
a relação
entre coincidem.
“sistema”
e “volume de controle”
dA3
em relação a xyz.
dA1
y
x
z
Figura 4.4 O sistema e o volume de controle fixo
Por definição:
D N sis
N ( t  t )  N sis ( t )
N ( t  t )  N 2 ( t  t )  N 2 ( t )  N1 ( t )
 lim sis
 lim 3
t 0
t 0
Dt
t
t
N 2 ( t  t )  N1 ( t  t )  N 2 ( t )  N1 ( t )
N ( t  t )  N1 ( t  t )
 lim 3
t 0
t 0
t
t
 lim
N vc ( t  t )  N vc ( t ) d N vc

t  0
t
dt
lim
em relação a xyz.
y
x
z
Entrada do VC. (A1)
 > 90º  cos < 0 (-)
d N  dm  d
 
d1  n  VtdA1
 
d N1(t  t)  n  VtdA1

N1 ( t  t )   
A1
Saída do VC. (A3)

 
n  Vt dA1 entrouno tempot
 < 90º  cos > 0 (+)
 
d3  n  VtdA3
N3 ( t  t )  
A3
 
n  Vt dA 3 saiu do VC em t
N 3 ( t  t )  N1 ( t  t )
N ( t  t )
N ( t  t )
 lim 3
 lim 1
t 0
t 0
t 0
t
t
t
lim
N 3 ( t  t )  N1 ( t  t )
N ( t  t )
N ( t  t )
 lim 3
 lim 1
t 0
t 0
t 0
t
t
t
lim
 
N1 ( t  t )
n  Vt
 
lim
  lim 
dA1    n  VdA1
t 0
t 0 A1
A1
t
t
VC. fixo  A1 fixo (fluxo de N através da seção de entrada A1)
 
 
N 3 ( t  t )
n  Vt
lim
 lim 
dA 3   n  VdA 3
A
A3
t 0

t

0
3
t
t
(fluxo de N através da seção de saída A3)
Portanto:
N 3 ( t  t )  N1 ( t  t )
N ( t  t )
N ( t  t )
 lim 3
 lim 1
t 0
t 0
t 0
t
t
t
lim
 
 
N 3 ( t  t )  N1 ( t  t )
lim
 (    n  VdA1 )    n  VdA 3
A1
A3
t 0
t
 
N 3 ( t  t )  N1 ( t  t )
lim
   n  VdA
SC
t 0
t
(fluxo líquido de N através da superfície de controle - SC)
Finalmente:
 
D Nsis d

d   V  ndA  Teorema de Transporte de Reynolds

Dt
dt VC
SC
d N vc d
  d  taxa de variação da propriedade extensiva N no VC
dt
d t VC

SC
 
n  VdA
 fluxo líquido, da propriedade extensiva N,
através da SC
No caso de volume de controle indeformável,  = Cte. e:
 
D Nsis

 
d   V  ndA
Dt
t
VC
SC
2.3.1. Simplificação da transformação Sistema para
Volume de Controle
Em se tratando de escoamento permanente, as propriedades e
condições de escoamento não variam localmente, de modo que:
d N vc
 0 ou,
dt
 
 0 assim:
t
 
D N sis
  V  ndA
Dt
SC
Para o caso de uma única entrada (A1) e uma única saída (A2), tal
como o dispositivo da Figura 4.6, o TTR é ainda mais simplificado.
Observe que:
 
n 1 V1  V1
e,
Do que resulta:
Figura 4.6 Escoamento entrando
e saindo de um dispositivo
D N sis
  22 V2 dA   11V1 dA
A2
A1
Dt
 
n 2 V2  V2
Supondo propriedades uniformes em cada seção (Cte.), resulta:
D N sis
 22 V2 A 2  11V1 A1
Dt
Generalizando, para o caso de várias áreas de entrada e/ou saída,
N
 
D Nsis
  ii ( Vi  n i )Ai
Dt
i 1
2.4. Conservação de Massa
Um sistema é constituído sempre pelas mesmas partículas; portanto
sua massa permanece constante.
Dm sis D

Dt
Dt

sis
 d  0
Com N = msis sendo a grandeza extensiva,
a grandeza intensiva correspondente passa a ser:

dN
1
dm
Considerando o Teorema de Transporte de Reynolds (TTR),
 
D Nsis d

 d  SC V  ndA
Dt
dt VC
 
Dmsis d

d   V  ndA  0

Dt
dt VC
SC
Para VC indeformável, vem:
 

VC t d  SC V  ndA  0
Resulta:
Escoamento permanente:
=0
 
Dmsis d

d   V  ndA  0

Dt
dt VC
SC
portanto,
 
 V  ndA  0
SC
Uma vez que:
 

V  ndA  dm
1  (-) seção de entrada ( > 90º)
 dm  0  m
SC
2
1
m
Onde:
2  (+) seção de saída
( < 90º)
Portanto:
1 m
2 m
  1A1V1  2A2V2
m
Para escoamento incompressível,  = Cte.
A1V1  A2V2  Q  vazão volumétrica.
Caso em que a distribuição de velocidades não seja uniforme
(V  Cte.), mas com a massa específica uniforme em cada seção.
A solução é obtida com o valor médio da velocidade.
Figura 4.7 Perfis de velocidades não uniformes
Seja a equação da continuidade:
  V dA    V dA
1 1
A1
2
A2
2
Já que a massa específica é uniforme em cada seção ( = Cte.),
1  V1 dA  2  V2 dA
A1
A2
Considerando o teorema do valor médio,
V
1
VdA

A
A
resulta:

1A1V1  2A2 V2  m
Caso o escoamento seja incompressível,
A1V1  A2 V2  Q
   Vn dA  fluxo de massa ou vazão em massa (kg/s)
m
A
Q   Vn dA
A
 vazão volumétrica ou vazão (m3/s)
Exemplo 4.1
Água flui a uma velocidade uniforme de 3 m/s para dentro de um
bocal que tem seu diâmetro reduzido de 10 cm para 2 cm
(Fig. E.4.1). Calcule a velocidade da água que sai pelo bocal e a
vazão.
Figura E4.1
Dados:
V1
D1
D2
3
10
2
m/s
cm
cm
0,10
0,02
m
m
Solução:
É escolhido um volume de controle que esteja dentro do bocal,
conforme mostrado (tracejado).
Água, portanto escoamento incompressível.
Considerando a Equação da continuidade, vem:
Q  A1V1  A2V2
2

V2  V1
A1
 0,10 
 3,0
  75,0 m / s.
A2
 0,02 
Cálculo da vazão:
  D12
  0,102
Q  A1V1  V1
 3,0
 0,02356 m3 / s.
4
4
Exemplo 4.2
Água flui para dentro e fora de um aparelho, como mostrado na
Fig. E.4.2a. Calcule a taxa de variação da massa de água (dm/dt)
no aparelho.
75 mm
Q3 = 8,50 l/s
V1 = 9,20 m/s
 2  4,30 kg / s
m
Figura E4.2a
Dados:
V1
D1
2
m
Q3

9,20
75
4,30
8,50
1000
m/s
mm
kg/s
l/s
kg/m3
0,075
0,0085
m
m3/s
Solução:
O volume de controle escolhido é mostrado na Figura E4.2b.
Saídas
Entrada
Figura E4.2b
Da continuidade:
 
d
d   V  n dA  0

VC
SC
dt
dm
 1A1V1  2 A 2 V2  3A 3V3  0
dt
Rearranjando a equação e substituindo os valores, chega-se a:
2
dm


0
,
075
 103
9,20  4,30  103  0,0085 27,84 kg / s.
dt
4
A massa aumenta a uma taxa de 27,84 kg/s.
O aparelho deve ter um material que absorva água.
Exemplo 4.3
Um escoamento uniforme aproxima-se de um cilindro, como mostra
a Fig. E4.3a. A distribuição simétrica da velocidade na localização
mostrada, à jusante na esteira do cilindro, é aproximada por:
y2
u( y)  1,25 
1  y  1
4
em que u(y) é dada em m/s e y, em metros. Determine a vazão em
massa através da superfície AB, por metro de profundidade.
Use  = 1,23 kg/m3.
Figura E4.3a
Solução:
Tomando ABCD como volume de controle (Figura E4.3b).
Entrada
(-)
Saídas
(+)
Figura E4.3b
Em vista da simetria, não há escoamento pela superfície CD.
Para escoamento permanente, a Eq. da continuidade fica:
 
 V  ndA  0
SC
O fluxo de massa ocorre através de três superfícies: AB, BC e AD.
Então:
 
 V  ndA 
A AB
 
 V  ndA 
A BC
 
 V  ndA  0
A AD
1
 AB   u( y)  1  dy    1,50  1  1  0
m
0
Lembre que um sinal negativo é sempre associado com o fluxo de
entrada e um sinal positivo com o fluxo de saída.
2
3
1
y
y
1
1,23 (1,25  )dy  1,23(1,25 y 
)  1,23(1,25  )
0
4
3 4 0
12
1
 AB  1,231,50  (1,25  1 / 12)  0,2050 kg/s m.
m
Exemplo 4.4
Um balão está sendo preenchido com um suprimento de água de
0,6 m3/s (Fig. E4.4). Encontre a taxa de crescimento do raio, no
instante em que R = 0,5 m.
Figura E4.4
Solução:
Pretende-se determinar dR/dt quando o raio R = 0,50 m.
A taxa de crescimento dR/dt é igual a velocidade da água normal a
parede do balão.
Selecionando o volume de controle como sendo uma esfera de raio
constante e igual a 0,50 m, pode-se calcular a velocidade da água
na superfície, no instante mostrado, movendo-se radialmente para
fora em R = 0,50 m.
A Eq. da continuidade é escrita como:
=0
 

VC t d  SC V  ndA  0
 da água é Cte.
A água transpõe duas áreas:
A área de entrada A1, com velocidade V1
e a área do restante da superfície da esfera AR, com velocidade VR.
Supondo que A1 << AR, a Eq. da continuidade fica:
 A1V1  AR VR  0
Q1 = A1V1
e,
AR = 4R2, resulta:
VR 
A1V1
0,60

 0,1910 m / s.
2
AR
4    0,50
De modo que:
dR
 0,1910 m / s.
dt
Usou-se de um volume de controle fixo, permitindo que a superfície
móvel do balão passasse por ele, no instante considerado.
Exemplo 4.5
Este exemplo mostra que pode existir mais que uma boa escolha
para um volume de controle. Queremos determinar a taxa à qual o
nível de água aumenta em um tanque aberto, se a água entrando
através de um tubo de 0,10 m2 tem uma velocidade de 0,50 m/s e a
vazão de saída é de 0,20 m3/s (Fig. E4.5a). O tanque tem uma
seção transversal circular com diâmetro de 0,50 m.
Figura E4.5a
Solução:
Em primeiro lugar é selecionado um volume de controle que se
estende acima da superfície da água, como na Figura E4.5a.
Da Eq. da continuidade, tem-se:
 
d
d   V  n dA  0

dt VC
SC
O primeiro termo descreve a taxa de variação da massa no VC.
Desprezando a massa de ar acima da água, vem:
d( h D 2 /4)
 V1A1   Q 2  0
dt
D 2 d h
 V1A1  Q 2  0
4 dt
d h 4( V1A1  Q2 ) 4(0,50  0,10  0,20)


 0,7639 m / s.
2
2
dt
D
  0,50
O sinal negativo indica que o nível de água está diminuindo.
Resolvendo com um novo VC, no qual sua face superior fique
abaixo do nível da água (Figura E4.5b).
Figura E4.5b
A velocidade na face superior é, então, igual a taxa à qual a
superfície da água se eleva.
Dentro do volume de controle o escoamento é permanente;
aplicando a Eq. da continuidade, vem:
 
dh D2
SCV  ndA  0  V1A1  Q2   dt 4
Resolvendo,
d h 4(V1A1  Q 2 ) 4(0,50  0,10  0,20)


 0,7639 m / s.
2
2
dt
D
  0,50
Que é o mesmo resultado anterior.
2.5. Equação da Energia
Muitos problemas envolvendo o movimento de fluidos exigem que a
primeira lei da termodinâmica, muitas vezes chamada equação da
energia, seja usada para relacionar as quantidades de interesse.
Se o calor transferido a um aparelho (uma caldeira) ou o trabalho
realizado por uma máquina (ventilador, bomba ou turbina) é
procurado, a equação da energia é, obviamente, necessária.
Ela também é usada para relacionar pressões e velocidades quando
a equação de Bernoulli não é aplicável (caso em que os efeitos
viscosos não podem ser desprezados), escoamentos através de
sistemas de tubulações ou em um canal aberto.
A equação da energia será expressa em termos de VC.
Decorre do Princípio da Conservação da Energia.
 W
 D
Q
Dt
E   e dm
m

sis
e  d 
onde:
D E sis
Dt
com:
V2
e
gz~
u
2
Considerando a relação entre sistema e VC
 
D Nsis d

d   V  ndA

Dt
dt VC
SC
Nsis  Esis
dE  e dm
dN

e
dm
 
d


Q  W   e  d   e V  n dA
sc
dt vc
  fluxo de calor  taxa de transferência de energia sem realização
Q
de trabalho.
Está associada a uma diferença de temperatura.
2.5.1. Termo taxa de trabalho
O termo taxa de trabalho corresponde ao trabalho executado pelo
sistema.
Ou, como se considera o instante em que o sistema ocupa o volume
de controle (dedução do TTR), pode-se afirmar que o termo taxa de
trabalho também corresponde ao trabalho executado pelo volume
de controle.
 força vezes deslocamento.
Trabalho
Taxa de trabalho  força vezes velocidade.
 

W  P   F  VI
(taxa de trabalho ou potência)
Por convenção, o trabalho realizado sobre o sistema (VC) é negativo

VI  velocidade vista a partir de um referencial inercial
Se a força resulta de uma tensão variável agindo sobre uma
superfície de controle, tal como na Figura 4.8, tem-se:
Figura 4.8 Vetor tensão na superfície agindo num elemento da SC
 

W      VI dA
sc
 
dF   dA
No geral, para
volumes de controle em movimento,
o vetor


velocidade VI é relacionado a uma velocidade V, observada do
referencial anexo ao volume de controle por:
Y

P V

R

   
VI  V  S    r

r
De modo que:

S
X


Z
  





     V dA     VdA    (S    r )dA
W
 I


sc

sc
sc
   

  (S    r )dA  W
I
sc
Veja que:
  
  n  s
Considerando a pressão estática (p), positiva em um estado
compressivo, vem:


n  p n (p  escalar) De modo que:
 
 


W   p n  VdA   s  VdA  W
I
sc
sc

sc
 
 W

s  VdA  W
E
cis
 
W

sc

sc
 
 W
 W

p n  VdA  W
E
cis
I
 
p n  VdA  Trabalho de escoamento.
É a taxa de trabalho resultante da força devido à
pressão atuante na SC.

W
E
 Taxa de trabalho resultante de eixos em rotação.

W
cis
 Taxa de trabalho devido à ação do cisalhamento em
um contorno em movimento (como uma correia).

W
I
 Taxa de trabalho que ocorre quando o VC se move
em relação à um referencial inercial.
 eW
 são
Deve-se notar que os termos de taxa de trabalho: W
cis
I
raramente encontrados em problemas de um curso introdutório e
são muitas vezes omitidos.
2.5.2. Equação geral da energia
Combinando as equações da energia e taxa de trabalho,
 
d


Q  W   e  d   e V  n dA
sc
dt vc
 Eq. da energia
 

 W
 W

W   p n  VdA  W
E
cis
I
 taxa de trabalho ou potência
sc
d
p  




Q  WE  Wcis  WI   e  d   (e  ) V  n dA
sc
dt vc

Note-se que o termo trabalho de escoamento foi mudado para o
segundo membro e é tratado como termo de fluxo de energia.
2
2
d
V
V
p  
~
~
I
I




Q  WE  Wcis  WI   (
 g z  u )  d   (
 g z  u  ) V  n dA
vc
sc
dt
2
2

Em escoamentos “reais”, formas úteis de energia são convertidas
em formas de energia não utilizáveis  “perdas”.
Assim, para escoamentos isotérmicos e incompressíveis,
 
d
~
~

perdas  Q   u  d   u V  n dA
sc
dt vc
Levando na equação anterior:
2
2
d
V
V
p  
I
I



 WE  Wcis  WI   (
 g z)  d   (
 g z  ) V  n dA  perdas
vc
sc
dt
2
2

As perdas devem-se a dois efeitos principais:
1. A viscosidade causa atritos internos que resultam em aumento
da energia interna ou de transferência de calor.
2. Mudanças bruscas na geometria resultam em descolamentos,
que demandam energia útil para manter os movimentos
secundários resultantes.
Perdas distribuídas: - são perdas que ocorrem ao longo de trechos
retilíneos do conduto, devido aos efeitos
viscosos.
Perdas singulares: - são perdas que ocorrem nas vizinhanças de
uma mudança de
geometria (válvulas,
cotovelos, alargamentos, etc.)
Em bombas, turbinas ou ventiladores (máquinas hidráulicas) as
perdas são expressas em termos de sua eficiência.
Exemplo: bomba com 80% de rendimento.
Perdas = 20% da energia fornecida à bomba.
2.5.3. Escoamento permanente uniforme

W
E
2
V2
1
V1
 W
  0,
Para W
cis
I
volume de controle inercial, VI = V,
escoamento permanente  d/dt = 0 e,
escoamento uniforme nas seções de entrada e saída 
(V2/2 + p/ + gz) = Cte. nestas seções, de modo que:
=0
=0
=0
2
2
d
V
V
p
I
I
 W
 W
 
  perdas
W
(

g
z
)

d


(

g
z

) dm
E
cis
I


vc
sc
dt
2
2

2
2
V
p
V
p1
2
2
1
 (

  perdas
W


g
z
)
m

(

 g z1 )m
E
2
2 2
2 1
 g, vem:
  1A1V1  2 A2 V2 . Dividindo por m
Onde, m

W
V22  V12 p 2 p1
E


   z 2  z1  h L
g
m
2g
 2 1
ou,

p1 V12
p2 V22
W

 z1  
 z2  E  hL
g
1 2 g
2 2 g
m
A equação da energia, tal como escrita, pode ser aplicada para
qualquer escoamento permanente, uniforme com uma entrada e
uma saída.
O volume de controle deve ser escolhido de forma que as seções de
entrada e de saída tenham uma carga total uniforme.
hL  perda de carga, com:
~

u2  ~
u1 Q
hL 

g
g
m
Muitas das vezes a perda é escrita em função do termo cinético:
V2
hL  K
2g
“carga”  energia por unidade de peso.

W
W  N  m   kg  m /s 2  m 
  (m)  comprimento
  

 
2 
2
 g m g  kg  m /s   kg  m /s 
m
V2/2g
 carga de velocidade
p/
 carga de pressão
z
 carga de posição
p/ + z
 carga piezométrica
V2/2g + p/ + z  carga total.
Na ausência do termo de trabalho de eixo e sem dissipação viscosa
(perdas) a equação da energia pode ser escrita como:
p1 V12
p 2 V22

 z1  
 z2
1 2 g
2 2 g
Observe que, para escoamento incompressível, 1 = 2 e a equação
da energia toma uma forma idêntica à equação de Bernoulli.
Porem, deve-se lembrar que:
A Eq. de Bernoulli decorre da Eq. do movimento de Newton, sendo
aplicável em uma mesma linha de corrente.
A Eq. da energia decorre da 1ª Lei da Termodinâmica, sendo
aplicável entre duas seções de um escoamento com distribuição de
velocidades uniformes.
Como exemplo, considere sua aplicação no escoamento da
Figura 4.9, o qual mostra uma comporta em um canal aberto.
Figura 4.9 Aplicação da Eq. da energia a uma
comporta em um canal aberto
A carga total na entrada e na saída pode ser calculada em qualquer
ponto da entrada e da saída, respectivamente.
Porém, uma escolha conveniente seriam os pontos situados na
superfície da água; levando a:
=0
=0
p1 V12
p2 V22

 h1  
 h2  h L
 2g
 2g
  0)
(W
E
V12
V22
 h1 
 h2  hL
2g
2g
Considerando, como alternativa, os centróides das seções de
entrada e saída,
p'1 V12 h1 p'2 V22 h 2

 

  hL
 2g 2
 2g 2
Neste caso, p’1 = h1/2
p’2 = h2/2
Levando estes valores na Eq. anterior, o resultado da primeira
alternativa é recuperado.
Considere agora o “T” da Figura 4.10.
Figura 4.10 Aplicação da Eq. da energia a uma
seção em T
Neste caso há uma entrada e duas saídas.
A Eq. da energia pode ser aplicada para cada uma das saídas.
Ou seja:
p1 V12
p2 V22

 z1  
 z 2  h L12
1 2 g
2 2 g
p1 V12
p3 V32

 z1  
 z3  h L13
1 2 g
2 2 g
Sistema com bomba e turbina.
Fazendo,

W
 E  H B  HT
g
m
Onde:
HB  adição de energia (bomba ou ventilador)
HT  extração de energia (turbina)
De modo que:
p1 V12
p2 V22

 z1  H B  
 z 2  HT  h L12
1 2 g
2 2 g
Potência hidráulica:
bomba  PhB   Q H B ( W)
turbina  PhT   Q HT ( W)
Potência de eixo:
bomba  PB 
 Q HB
( W)
B
turbina  PT   Q HT T (W)
Ou, de um modo geral,
 Ph 
 
 P 
1
  Bomba

  T urbina
2.5.4. Escoamento permanente não uniforme
Se a hipótese de perfil uniforme de velocidade não é aceitável, há
necessidade de se corrigir o termo cinético na Eq. da energia.
Considere o perfil de velocidades da figura abaixo.
V
dA
V
VdA  peso que passa por dA na unidade de tempo
V2/2g  energia cinética por unidade de peso

2
V
VdA  energia cinética que passa na seção na unid. tempo

2g A
Em termos da velocidade média, vem:
 2
V VA  energia cinética média
2g
Introduzindo o fator de correção da energia cinética ()

 2

3
V VA 
V
dA

A
2g
2g
3


1 V
  dA

A
A V
E a Eq. da energia, em termos da velocidade média, fica:
p1
V12
p2
V22
 1
 z1  H B    2
 z 2  HT  h L12
1
2g
2
2g
Perfis parabólicos em tubos circulares (escoamento laminar)  = 2.
Escoamento turbulento em tubos   1,05
Em aproximação  = 1.
Exemplo 4.6
A bomba da Fig. E4.6 é usada para aumentar a pressão de 0,2 m3/s
de água de 200 kPa para 600 kPa. Se a bomba tem uma eficiência
de 85%, qual a potência elétrica de que a bomba necessita? A área
de saída fica 20 cm acima da área de entrada. Suponha que a área
de entrada e de saída sejam iguais.
Figura E4.6
Dados
Q
p1
p2

z2 - z1

g
200,0
200
600
85,0%
20
1000
9,81
l/s
kPa
kPa
cm
kg/m3
m/s2
0,200
2105
6105
0,200
m3/s
Pa
Pa
m
Solução:
Considerando a Eq. da energia,
=0
2
1
2
2
=0
p1 V
p2 V

 z1  H B  
 z 2  H T  h L12
1 2 g
2 2 g
p2  p1
600 103  200 103
HB 
 (z 2  z1 ) 
 0,200  40,97 m.
3

9,81 10
Cálculo da potência da bomba.
  Q  g  H B 103  0,200 9,81 40,97 3
PB 

10  94,58 kW.

0,85
Exemplo 4.7
Água flui de um reservatório através uma tubulação com um
diâmetro de 750 mm para uma unidade geradora (turbina) e sai para
um rio que está localizado a 30 m abaixo da superfície do
reservatório. Se a vazão do escoamento é de 2,50 m3/s, e a
eficiência da turbina geradora é de 88%, calcule a potência de
saída. Suponha um coeficiente de perda na tubulação (incluindo a
saída) de K = 2.
Dados
D
z
Q

K

g
750
30,0
2,50
88,0%
2
1000
9,81
mm
m
m3/s
kg/m3
m/s2
0,750
m
Figura E4.7
Solução:
Considerando a Eq. da continuidade,
V
4Q
4  2,50

 5,659 m /s.
2
2
D
  0,750
Cálculo da perda de carga,
V2
5,6592
hf  K
2
 3,264 m.
2g
2  9,81
Aplicando a Eq. da energia entre um ponto situado na superfície do
reservatório e outro na superfície do rio, vem:
=0
=0
2
1
=0
=0
=0
2
2
p1 V
p V

 z1  H B  2 
 z 2  H T  h L12
1 2 g
2 2 g
HT  (z1  z2 )  hL12  30  3,264  26,74 m.
Cálculo da potência da turbina
PT   Q HT T  9,81103  2,50 26,74 0,88103  577,0 kW.
Exemplo 4.8
O medidor Venturi mostrado reduz o diâmetro da tubulação de 10
para um mínimo de 5 cm (Fig. E4.8). Calcule a vazão e a vazão em
massa, supondo condições ideais.
Figura E4.8
Dados
D1
D2
h

g
dHg
10,0
5,0
1,200
1000
9,81
13,6
cm
cm
m
kg/m3
m/s2
0,100
0,050
m
m
Solução:
Do manômetro de tubo em “U” e aplicando o caminhamento de 1
para 2, vem:
p1   z    h  pa  pb    dHg  h   z  p2
p1  p2
 (d Hg  d ág )  h  (13,6  1)  1,20  15,12 m.

Da continuidade,
2
Q  A1V1  A2V2
D 
A
 10 
 V2  1 V1   1  V1    V1  4 V1
A2
 5
 D2 
2
Uma vez que o escoamento se dá sob condições ideais, aplica-se a
Eq. de Bernoulli, ou seja:
p1 V12
p 2 V22

 z1  
 z2
 2g
 2g
p1  p2 V22  V12 16  1 2 15 2


V1 
V1

2g
2g
2g
V1 
2 g p1  p2
2  9,81

15,12  4,447 m/s.
15 
15
  0,1002
Q  A1V1  4,447
 0,03493 m3/s.
4
Finalmente,
    Q  103  0,03493 34,93 kg/s.
m
Exemplo 4.9
A distribuição de velocidade para um certo escoamento em uma
tubulação é V(r) = Vmáx(1 - r2/r02), na qual r0 é o raio do tubo
(Fig. E4.9). Determine o fator de correção da energia cinética.
Figura E4.9
Solução:
Para determinar o fator de correção da energia cinética “” é
necessário conhecer a velocidade média. Assim,
1
Vmáx r0  r 2 
2Vmáx r0  r 3 
1  2 2 r dr 
 r  2  dr
V   VdA 
2 0 
2

A
0
A
 ro
ro
 r0 
 r0 
r0
2Vmáx  r 2
r4 
2Vmáx  r02 r02  1
  2  
    Vmáx
V
2
2
ro  2 4 r0 0
ro  2 4  2
Conhecida a velocidade média, pode-se calcular o .
3
1 V
1
     dA  2
A A V 
 r0

r0
0
3
  r 
2 1  2  2  r dr
  r0 
2
16 r0  3 r 2 3 r 4 r 6 
16 r0  3 r 3 3 r 5 r 7 
  2  1  2  4  6  r dr  2   r  2  4  6  dr
r0 0 
r0
r0
r0 
r0 0 
r0
r0
r0 
16  r02 3 r02 3 r02 r02  16 1

  2  

   2
12 r02  18r02  12r02  3r02   2
r0  2
4
6
8  r0 24
Conseqüentemente o fluxo de energia cinética associado à
distribuição de velocidade parabólica através de um tubo circular é
dado por:
 V2
V2  
m
A 2 (V  n)dA  2 2