Universidade Federal de Pernambuco
Departamento de Fı́sica
Exame Geral de Doutorado
Segundo Semestre de 2014
Mecânica Clássica
08/08/2014 - 09:00 às 12:00 h
(Escolha três dentre as quatro questões)
1
Exame Geral de Doutorado 2014.2 – Mecânica Clássica
Questão 1 – Leis de Newton
Dois blocos unidos por um fio inextensı́vel de massa desprezı́vel se
encontram dispostos numa rampa fixa ao solo, como mostrado na figura. O bloco de massa 2M desliza sem atrito sobre a superfı́cie.
A polia é composta por um disco fino
raio R e massa M uniformemente distribuı́da. O fio passa pela polia sem
deslizar e o segundo bloco de massa
M se encontra pendurado sob ação da
gravidade. A polia gira sem atrito.
x
M
R
2M
z
M
β
(a) [20%] Encontre o ângulo crı́tico βc para o qual as forças sobre o bloco
de massa M se anulam.
(b) [10%] Nas condições do item (a), encontre o vetor momento angular
(em relação ao eixo da polia) para o sistema formado pelos dois blocos e a polia, sabendo que o bloco de massa M se movimenta com
velocidade constante ~v = v0 ẑ.
(c) [10%] Nas condições do item (a), encontre a variação de energia potencial do sistema formado pelos dois blocos e a polia quando o bloco
de massa M desce por uma altura h.
Suponha nos itens abaixo que o ângulo formado pela rampa é β < βc .
(d) [30%] Encontre a aceleração do bloco de massa 2M.
(e) [30%] Encontre a tração no fio nos dois lados da polia.
Exame Geral de Doutorado 2014.2 – Mecânica Clássica
2
Questão 2 – Oscilação e ressonância
A posição unidimensional x(t) de uma partı́cula com massa m sujeita
à ação de uma força externa periódica, com magnitude F e frequência Ω,
obedece a equação de movimento
ẍ + γ ẋ + ω02 x =
F
cos(Ωt),
m
(1)
em que γ e ω0 são constantes (com dimensão de inverso de tempo) associadas, respectivamente, a uma força dissipativa e a uma força restauradora
atuando sobre a partı́cula.
(a) [25%] Encontre a solução oscilatória geral do movimento para o caso
em que F = 0. Determine a frequência ω de oscilação.
(b) [25%] Aplique as condições iniciais x(t = 0) = x0 e ẋ(t = 0) = 0 à
solução do item (a). Esboce x(t) graficamente, indicando as escalas
relevantes dessa função.
(c) [25%] Determine a solução particular da Eq. (1) com força externa não
nula. Encontre a frequência, a amplitude A e a fase φ da oscilação.
(d) [25%] A potência fornecida pelo agente causador da força externa e dissipada pelo oscilador é proporcional a |A|2 . Esboce |A|2 graficamente
como função da frequência Ω da força externa, indicando no gráfico as
escalas relevantes. Suponha que a dinâmica seja dominada pela força
restauradora (i.e. ω0 ≫ γ) e desconsidere efeitos transientes.
Exame Geral de Doutorado 2014.2 – Mecânica Clássica
3
Questão 3 – Modos normais de vibração
Um pêndulo é formado por uma partı́cula com massa m1 = 3m suspensa por uma haste rı́gida (com massa desprezı́vel e fixa a um suporte)
com comprimento ℓ. Um segundo pêndulo, com massa m2 = m e mesmo
comprimento, é fixado à partı́cula com massa m1 , formando um pêndulo
duplo. Esse sistema é livre para oscilar num plano fixo.
(a) [35%] Escreva a lagrangiana do sistema e as equações de movimento
para as posições das partı́culas 1 e 2 em termos das coordenadas generalizadas que você achar mais convenientes. Desenhe esquematicamente o sistema, apontando as coordenadas escolhidas.
(b) [35%] Determine as frequências normais de vibração para pequenas
oscilações.
(c) [15%] Determine os modos normais de vibração no regime de pequenas
oscilações.
(d) [15%] Escreva a solução para as posições das partı́culas como função
do tempo para a configuração inicial (t = 0) em que um agente externo, encontrando o sistema em repouso em seu ponto de equilı́brio,
aplica uma força impulsiva à massa m2 fornecendo-lhe velocidade inicial v2 (t = 0) = v0.
4
Exame Geral de Doutorado 2014.2 – Mecânica Clássica
Questão 4 – Corpo rı́gido
Considere duas partı́culas de massas m1 e m2 conectadas por uma haste
rı́gida de massa desprezı́vel. O conjunto está em rotação como mostrado
na figura, sendo ~vi a velocidade e ~ri a posição da partı́cula i (i = 1, 2).
O sistema de eixos de referência é definido pelos versores de base ê1 , ê2 e ê3 mos-
m1
trados na figura. O versor ê3
se encontra ao longo da linha
que une as partı́culas e ê2 está
e2
α
r1
|r1| = |r2| = b
O
no plano definido por ê3 e ~ω .
Considere a distância entre as
partı́culas e a origem das coordenadas igual a b.
v1
ω
r2
m2
v2
~ do sistema.
(a) [50%] Encontre o momento angular L
(b) [30%] Explique porque a velocidade angular ~ω e o momento angular
não apontam na mesma direção.
(c) [20%] Determine o torque necessário para manter o movimento conforme descrito.
Exame Geral de Doutorado 2014.2 – Mecânica Clássica
Formulário
L(q1, . . . , qn, q̇1, . . . , q̇n) = T (q1, . . . , qn , q̇1, . . . , q̇n ) − U (q1, . . . , qn)
∂L
d ∂L
−
=0
∂qj dt ∂ q̇j
Ix ω̇x − (Iy − Iz )ωy ωz = Nx
Iy ω̇y − (Iz − Ix )ωz ωx = Ny
Iz ω̇z − (Ix − Iy )ωx ωy = Nz

P
P
P
2
2
+
z
y
−
m
x
y
−
m
m
x
z
j
j
j
j
j
j
j
j
j
j
Pj
P j

 P
2
2
{I} =  − j mj xj yj
− j mj yj zj

j mj xj + zj
P
P
P
2
2
− j mj xj zj
− j mj yj zj
j mj xj + yj
5